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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Sa 29.10.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo an alle!
Ich habe hier versucht, hier eine aufgabe zu lösen, aber ich weiß nicht genau wie. die aufgabe ist sehr abstrakt gestellt.
also:
ich soll nämlich das lebesgue-integral [mm] \integral_{\IR}^{} {1_{\IQ}d\lambda} [/mm] berechnen, wobei [mm] 1_{\IQ} [/mm] hier die indikatorfunktion sein soll.
und so bin ich vorgegangen:
[mm] \integral_{\IR}^{} {1_{\IQ}d\lambda} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} {1_{\IQ \cap \IR}d\lambda} [/mm]
-> diese regel gilt für [mm] \mu-integrale, [/mm] allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das auch für [mm] \lambda-integrale [/mm] gilt.
= [mm] \integral_{}^{} {1_{\IQ \cap \IR}d\lambda} [/mm]
= [mm] \integral_{}^{} {1_{\IQ}d\lambda} [/mm]
= [mm] \lambda (\IQ)
[/mm]
= [mm] \lambda (\produkt_{i=1}^{\infty}]a_{i},b_{i}])
[/mm]
= [mm] \produkt_{i=1}^{\infty}(b_{i}-a_{i})
[/mm]
stimmen meine überlegungen? ich bin mir ziemlich unsicher, weil irgendwie am ende nichts konkretes rauskommt.
könnt ihr mich bitte verbessern, bzw. mir zeigen, wie man es sonst machen würde.
vielen dank!
VHN
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Hallo VHN,
> ich soll nämlich das lebesgue-integral [mm]\integral_{\IR}^{} {1_{\IQ}d\lambda}[/mm]
> berechnen, wobei [mm]1_{\IQ}[/mm] hier die indikatorfunktion sein
> soll.
Indikatorfunktion heißt wohl auch Charakteristische Funktion?
> und so bin ich vorgegangen:
> [mm]\integral_{\IR}^{} {1_{\IQ}d\lambda}[/mm] = [mm]\integral_{}^{} {1_{\IQ \cap \IR}d\lambda}[/mm]
das bringt nichts Neues, weil [mm] \IQ \cap \IR [/mm] = [mm] \IQ [/mm] ist.
> -> diese regel gilt für [mm]\mu-integrale,[/mm] allerdings bin ich
> mir nicht sicher, ob das auch für [mm]\lambda-integrale[/mm] gilt.
Gilt beides, aber hier ist die Frage, wie ihr das L-Integral eingeführt habt:
als Grenzwert punktweiser monoton-konvergenter Treppenfunktionen [mm] (d\lambda), [/mm] oder hattet ihr zuerst einen Maßbegriff [mm] \mu [/mm] ?
> = [mm]\integral_{}^{} {1_{\IQ \cap \IR}d\lambda}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{} {1_{\IQ}d\lambda}[/mm]
> = [mm]\lambda (\IQ)[/mm]
Das Maß von [mm] \IQ [/mm] ist Null, dazu kannst Du das Posting für "Brain86" weiter unten ansehen.
Grüße, Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Di 01.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo toellner!
erstmal danke für deine antwort!
aber leider ist mir noch nicht alles klar in deiner antwort.
ich nehme an, dass meine argumentation bis ... = [mm] \lambda (\IQ) [/mm] stimmt.
ich habe mir nun das posting von "brain86" angeschaut, aber leider kann ich daraus nciht wirklich erkennen, warum das maß von [mm] \IQ [/mm] null ist.
kannst du mir das bitte nochmals näher erläutern?
vielen dank für deine hilfe!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich finde jetzt so schnell den Beitrag von brainwasweißich nicht, aber [mm] $\IQ$ [/mm] ist die abzählbare Vereinigung von Lebesgue-Nullmengen (nämlich einelementigen Mengen) und daher selber eine Lebesgue-Nullmenge.
Vielleicht kannst du hier ja die besagte Argumentation noch einmal wiederholen und genau sagen, an welcher Stelle du sie nicht verstehst...
Liebe Grüße
Stefan
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