Lebesque Integration (e-fkt) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 So 12.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für n [mm] \to \infty [/mm]
[mm] \integral_{0}^{n}{(1-x/n)^n dx} \to \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}dx}
[/mm]
gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine erste Idee wäre das über monotone Konvergenz zu machen.
Also [mm] f_j [/mm] : X [mm] \to \overline{\IR}_{\ge 0} [/mm] (also mit unendlich) meßbar für alle j.
[mm] f_1 \le \ldots \le f_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \integral{f_j} [/mm] = [mm] \integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_j}
[/mm]
Also [mm] (e^{-x})_n [/mm] := [mm] (1-x/n)^n.
[/mm]
Für x [mm] \ge [/mm] 0 gilt [mm] (e^{-x})_n \le (e^{-x})_{n+1} [/mm]
(da immer kleinere Werte von 1 abgezogen werden)
und für x < 0 gilt ebenfalls [mm] (e^{-x})_n \le (e^{-x})_{n+1} [/mm]
(da immer kleinere Werte zu 1 addiert werden)
Muss ich das beweisen? eig ist das doch klar. Der Beweis ist ja nicht schwer.
Nun fehlt hier zu zeigen, dass [mm] (e^{-x})_n [/mm] meßbar ist für jedes j !?!? Wie geht das?
Naja, nach der monotonen Konvergenz gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{(1-x/n)^n} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\limes_{n\rightarrow\infty} (1-x/n)^n} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}dx}
[/mm]
So bei den Integrationsobergrenze bin ich mir unsicher, bei der Notation [mm] (e^{-x})_n [/mm] und wie kann ich zeigen, dass diese Folge meßbar für alle n ist??
LG,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 12.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
den Satz über die monotone Konvergenz würde ich auch anwenden.
> Zeigen Sie, dass für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{n}{(1-x/n)^n dx} \to \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}dx}[/mm]
>
> gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine erste Idee wäre das über monotone Konvergenz zu
> machen.
>
> Also [mm]f_j[/mm] : X [mm]\to \overline{\IR}_{\ge 0}[/mm] (also mit
> unendlich) meßbar für alle j.
>
> [mm]f_1 \le \ldots \le f_n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \integral{f_j}[/mm] =
> [mm]\integral{\limes_{n\rightarrow\infty} f_j}[/mm]
>
> Also [mm](e^{-x})_n[/mm] := [mm](1-x/n)^n.[/mm]
>
> Für x [mm]\ge[/mm] 0 gilt [mm](e^{-x})_n \le (e^{-x})_{n+1}[/mm]
> (da immer kleinere Werte von 1 abgezogen werden)
> und für x < 0 gilt ebenfalls [mm](e^{-x})_n \le (e^{-x})_{n+1}[/mm]
> (da immer kleinere Werte zu 1 addiert werden)
>
> Muss ich das beweisen? eig ist das doch klar. Der Beweis
> ist ja nicht schwer.
Im Zweifelsfall immer beweisen. Man kann doch z.B. über Induktion zeigen, dass [mm](1-\bruch{x}{n})^n\leq{(1-\bruch{x}{n+1})^{n+1}}[/mm]. (Induktion habe ich jetzt aber nicht versucht)
> Nun fehlt hier zu zeigen, dass [mm](e^{-x})_n[/mm] meßbar ist für
> jedes j !?!? Wie geht das?
Du meinst für jedes n.
Ihr hattet sicher in der VL Sätze wie "stetige Abbildungen sind messbar", "Kompositionen messbarer Abbildungen sind messbar",... Die kannst du zur Argumentation nutzen.
> Naja, nach der monotonen Konvergenz gilt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{(1-x/n)^n}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{\infty}{\limes_{n\rightarrow\infty} (1-x/n)^n}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}dx}[/mm]
>
> So bei den Integrationsobergrenze bin ich mir unsicher, bei
> der Notation [mm](e^{-x})_n[/mm] und wie kann ich zeigen, dass diese
> Folge meßbar für alle n ist??
Integrationsgrenze stimmt. Messbarkeit würde ich - wie bereits erwähnt - über Sätze aus der VL begründen. Z.B. so:
[mm]h(x)=x^{n}[/mm] ist messbar, wegen Satz...
[mm]g(x)=1[/mm] ist messbar, wg. Satz...
[mm]j(x)=\bruch{x}{n}[/mm] ist messbar, wg Satz...
[mm]k=g-j=1-\bruch{x}{n}[/mm] ...,
[mm]h(k(x))= (1-\bruch{x}{n})^n[/mm] ist messbar als Komposition messbarer Funktionen.
Wobei das dann evtl. zu ausführlich ist.
Damit sind dann die Voraussetzungen gegeben...
Anstelle von [mm] $(e^{-x})_n:=...$ [/mm] würde ich [mm] $f_j(x):=(1-\bruch{x}{j})^j$, [/mm] j=1,2,3,....,n definieren.
> LG,
> Ana-Lena
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Di 14.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Ich konnte die Monotonie nicht ganz zeigen. Der Induktionsanfang mit $n=1$ ist klar, aber wo setze ich die Induktionsvoraussetzung ein?
Danke,
LG
Ana-Lena
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Hallo,
siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
zur Monotonie.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{n}{(1-x/n)^n dx} \to \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}dx}[/mm]
>
> gilt.
Ob der Aufgabensteller daran gedacht hat : ?
Das Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}dx} [/mm] kann man locker ausrechnen:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}}dx=1.
[/mm]
Mit der Substitution [mm] $t=1-\bruch{x}{n}$ [/mm] bekommt man:
[mm] \integral_{0}^{n}{(1-x/n)^n dx} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}.
[/mm]
Somit: [mm] \integral_{0}^{n}{(1-x/n)^n dx} \to [/mm] 1 ( n [mm] \to \infty)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Di 14.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Sowas hab ich mir auch gedacht. :D
Naja, jetzt ist die Aufgabe erstmal abgegeben.
Danke euch beiden,
LG Ana-Lena
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