matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieLegendre-symbol, Lösungen.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Zahlentheorie" - Legendre-symbol, Lösungen.
Legendre-symbol, Lösungen. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Legendre-symbol, Lösungen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:30 Fr 08.06.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Sei p eine ungerade Zahl.
Zeige: Die Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p) besitzt genau 1+ [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] modulo p inkongruente Lösungen (mit a [mm] \in\IZ [/mm] beliebig)




[mm] \left(\frac{a}{p}\right) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\ -1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Nichtrest modulo } p \mbox{ ist} \\ 0 & \mbox{wenn } p|a \end{cases} [/mm]

[mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p)
[mm] (\frac{a}{p})=(\frac{x^2}{p})= (\frac{x*x}{p})= (\frac{x}{p})* (\frac{x}{p}) [/mm]

Wenn es eine Lösung gibt für [mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p) ist offensichtlich [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] >= 0

=> [mm] (\frac{a}{p})= (\frac{x}{p})* (\frac{x}{p}) [/mm] =1

Hilfe würde mich freuen!
lg

        
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Fr 08.06.2012
Autor: hippias

Wenn z.B. die Kongruenz keine Loesung besitzt, stimmt die Anzahl der Loesungen dann modulo $p$ mit [mm] $1+(\frac{a}{p})$ [/mm] ueberein? Ebenso fuer die anderen Faelle.

Bezug
                
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Fr 08.06.2012
Autor: sissile


> Die Kongruenz hat eine Lösung.

1+ [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] =1
[mm] <=>(\frac{a}{p}) [/mm] =0
=> p|a

Bezug
                        
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Fr 08.06.2012
Autor: Schadowmaster


> > z.B. die Kongruenz keine Loesung besitzt
>  D.h a ist quadratischer Nichtrest Modulo p =>

> [mm](\frac{a}{p})[/mm] = -1
>  1+ [mm](\frac{a}{p}) [/mm]= 1 + (-1)=0
>  Es gibt 0 Lösungen - korrekt
>  
> > Die Kongruenz hat eine Lösung.
>  1+ [mm](\frac{a}{p})[/mm] =1
>  [mm]<=>(\frac{a}{p})[/mm] =0
>  => p|a

>  
>
> > Die Kongruenz hat zwei Lösungen.
>  1+ [mm](\frac{a}{p})[/mm] =2
>  [mm](\frac{a}{p})[/mm] = 1
>  <=> a quadratischer Rest modulo p

>  
> Aber wie zeige ich dass es nur 0,1,2 Lösungen geben kann
> und nicht mehr? Der Beweis ist kein richtiger beweis.


moin,

Zuerst: Kann es sein, dass $p$ eine ungerade Primzahl sein soll?
Nehmen wir nämlich etwa $p=9$ und $a=0$, so gibt es die beiden Lösungen $x=3$ und $x=0$, die nicht kongruent sind.
Aber $9 | 0$, also dürfte es nach Aufgabenstellung nur eine geben.

Gehen wir mal davon aus, dass $p$ eine Primzahl sein soll.
Dann ist [mm] $\IZ_p$ [/mm] ein Körper.
Die Lösungen von [mm] $x^2 \equiv [/mm] a$ (mod $p$) sind dann gerade die Nullstellen von [mm] $x^2-a \in \IZ_p[x]$. [/mm]
Was kannst du über die Anzahl der Nullstellen sagen (unter Verwendung der Tatsache, dass [mm] $\IZ_p$ [/mm] ein Körper ist)?

lg

Schadowmaster

Bezug
                                
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 Fr 08.06.2012
Autor: sissile

Ja eine Primzahl.

> Die Lösungen von $ [mm] x^2 \equiv [/mm] a $ (mod p) sind dann gerade die Nullstellen von $ [mm] x^2-a \in \IZ_p[x] [/mm] $.
> Was kannst du über die Anzahl der Nullstellen sagen (unter Verwendung der Tatsache, dass $ [mm] \IZ_p [/mm] $ ein Körper ist)?

Im Skript gefunden:
Sei p [mm] \not= [/mm] 2 eine Primzahl und a [mm] \in \IZ [/mm] mit p teilt nicht a. Wenn a quadratischer Rest modulo p ist, gibt es genau zwei modulo p inkongruente Lösungen der Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] a (p)

Also passt mein beweis im vorigen beitrag?

Bezug
                                        
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Fr 08.06.2012
Autor: Schadowmaster


> Ja eine Primzahl.
>  
> > Die Lösungen von [mm]x^2 \equiv a[/mm] (mod p) sind dann gerade die
> Nullstellen von [mm]x^2-a \in \IZ_p[x] [/mm].
>  > Was kannst du über

> die Anzahl der Nullstellen sagen (unter Verwendung der
> Tatsache, dass [mm]\IZ_p[/mm] ein Körper ist)?
>  
> Im Skript gefunden:
>  Sei p [mm]\not=[/mm] 2 eine Primzahl und a [mm]\in \IZ[/mm] mit p teilt
> nicht a. Wenn a quadratischer Rest modulo p ist, gibt es
> genau zwei modulo p inkongruente Lösungen der Kongruenz
> [mm]x^2 \equiv[/mm] a (p)

Wenn das so im Skript steht darfst du es natürlich verwenden.

> Also passt mein beweis im vorigen beitrag?

Wieso hat die Kongruenz genau eine Lösung, wenn $p | a$?
Das ist zwar nicht schwer zu begründen, aber ganz ohne Begründung kann man es auch nicht stehen lassen.

lg

Schadow

Bezug
                                                
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Fr 08.06.2012
Autor: sissile


> Wieso hat die Kongruenz genau eine Lösung, wenn $ p | a $?

[mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p)
<=> [mm] x^2 \equiv [/mm] =0 (mod p )
=> genau 1 Lösung x=0

so?

LG

Bezug
                                                        
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Fr 08.06.2012
Autor: Schadowmaster


> > Wieso hat die Kongruenz genau eine Lösung, wenn [mm]p | a [/mm]?
> [mm]x^2 \equiv[/mm] a (mod p)
>  <=> [mm]x^2 \equiv[/mm] =0 (mod p )

>  => genau 1 Lösung x=0

>  
> so?
>  
> LG

jup


Bezug
                                                                
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Fr 08.06.2012
Autor: sissile

danke für die Hilfe

LG

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]