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Forum "Zahlentheorie" - Legendre-symbol, Lösungen.
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Legendre-symbol, Lösungen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:30 Fr 08.06.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Sei p eine ungerade Zahl.
Zeige: Die Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p) besitzt genau 1+ [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] modulo p inkongruente Lösungen (mit a [mm] \in\IZ [/mm] beliebig)




[mm] \left(\frac{a}{p}\right) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\ -1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Nichtrest modulo } p \mbox{ ist} \\ 0 & \mbox{wenn } p|a \end{cases} [/mm]

[mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p)
[mm] (\frac{a}{p})=(\frac{x^2}{p})= (\frac{x*x}{p})= (\frac{x}{p})* (\frac{x}{p}) [/mm]

Wenn es eine Lösung gibt für [mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p) ist offensichtlich [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] >= 0

=> [mm] (\frac{a}{p})= (\frac{x}{p})* (\frac{x}{p}) [/mm] =1

Hilfe würde mich freuen!
lg

        
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Fr 08.06.2012
Autor: hippias

Wenn z.B. die Kongruenz keine Loesung besitzt, stimmt die Anzahl der Loesungen dann modulo $p$ mit [mm] $1+(\frac{a}{p})$ [/mm] ueberein? Ebenso fuer die anderen Faelle.

Bezug
                
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Fr 08.06.2012
Autor: sissile


> Die Kongruenz hat eine Lösung.

1+ [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] =1
[mm] <=>(\frac{a}{p}) [/mm] =0
=> p|a

Bezug
                        
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Fr 08.06.2012
Autor: Schadowmaster


> > z.B. die Kongruenz keine Loesung besitzt
>  D.h a ist quadratischer Nichtrest Modulo p =>

> [mm](\frac{a}{p})[/mm] = -1
>  1+ [mm](\frac{a}{p}) [/mm]= 1 + (-1)=0
>  Es gibt 0 Lösungen - korrekt
>  
> > Die Kongruenz hat eine Lösung.
>  1+ [mm](\frac{a}{p})[/mm] =1
>  [mm]<=>(\frac{a}{p})[/mm] =0
>  => p|a

>  
>
> > Die Kongruenz hat zwei Lösungen.
>  1+ [mm](\frac{a}{p})[/mm] =2
>  [mm](\frac{a}{p})[/mm] = 1
>  <=> a quadratischer Rest modulo p

>  
> Aber wie zeige ich dass es nur 0,1,2 Lösungen geben kann
> und nicht mehr? Der Beweis ist kein richtiger beweis.


moin,

Zuerst: Kann es sein, dass $p$ eine ungerade Primzahl sein soll?
Nehmen wir nämlich etwa $p=9$ und $a=0$, so gibt es die beiden Lösungen $x=3$ und $x=0$, die nicht kongruent sind.
Aber $9 | 0$, also dürfte es nach Aufgabenstellung nur eine geben.

Gehen wir mal davon aus, dass $p$ eine Primzahl sein soll.
Dann ist [mm] $\IZ_p$ [/mm] ein Körper.
Die Lösungen von [mm] $x^2 \equiv [/mm] a$ (mod $p$) sind dann gerade die Nullstellen von [mm] $x^2-a \in \IZ_p[x]$. [/mm]
Was kannst du über die Anzahl der Nullstellen sagen (unter Verwendung der Tatsache, dass [mm] $\IZ_p$ [/mm] ein Körper ist)?

lg

Schadowmaster

Bezug
                                
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Legendre-symbol, Lösungen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 Fr 08.06.2012
Autor: sissile

Ja eine Primzahl.

> Die Lösungen von $ [mm] x^2 \equiv [/mm] a $ (mod p) sind dann gerade die Nullstellen von $ [mm] x^2-a \in \IZ_p[x] [/mm] $.
> Was kannst du über die Anzahl der Nullstellen sagen (unter Verwendung der Tatsache, dass $ [mm] \IZ_p [/mm] $ ein Körper ist)?

Im Skript gefunden:
Sei p [mm] \not= [/mm] 2 eine Primzahl und a [mm] \in \IZ [/mm] mit p teilt nicht a. Wenn a quadratischer Rest modulo p ist, gibt es genau zwei modulo p inkongruente Lösungen der Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] a (p)

Also passt mein beweis im vorigen beitrag?

Bezug
                                        
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Legendre-symbol, Lösungen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Fr 08.06.2012
Autor: Schadowmaster


> Ja eine Primzahl.
>  
> > Die Lösungen von [mm]x^2 \equiv a[/mm] (mod p) sind dann gerade die
> Nullstellen von [mm]x^2-a \in \IZ_p[x] [/mm].
>  > Was kannst du über

> die Anzahl der Nullstellen sagen (unter Verwendung der
> Tatsache, dass [mm]\IZ_p[/mm] ein Körper ist)?
>  
> Im Skript gefunden:
>  Sei p [mm]\not=[/mm] 2 eine Primzahl und a [mm]\in \IZ[/mm] mit p teilt
> nicht a. Wenn a quadratischer Rest modulo p ist, gibt es
> genau zwei modulo p inkongruente Lösungen der Kongruenz
> [mm]x^2 \equiv[/mm] a (p)

Wenn das so im Skript steht darfst du es natürlich verwenden.

> Also passt mein beweis im vorigen beitrag?

Wieso hat die Kongruenz genau eine Lösung, wenn $p | a$?
Das ist zwar nicht schwer zu begründen, aber ganz ohne Begründung kann man es auch nicht stehen lassen.

lg

Schadow

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Legendre-symbol, Lösungen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Fr 08.06.2012
Autor: sissile


> Wieso hat die Kongruenz genau eine Lösung, wenn $ p | a $?

[mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p)
<=> [mm] x^2 \equiv [/mm] =0 (mod p )
=> genau 1 Lösung x=0

so?

LG

Bezug
                                                        
Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Fr 08.06.2012
Autor: Schadowmaster


> > Wieso hat die Kongruenz genau eine Lösung, wenn [mm]p | a [/mm]?
> [mm]x^2 \equiv[/mm] a (mod p)
>  <=> [mm]x^2 \equiv[/mm] =0 (mod p )

>  => genau 1 Lösung x=0

>  
> so?
>  
> LG

jup


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Bezug
Legendre-symbol, Lösungen.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Fr 08.06.2012
Autor: sissile

danke für die Hilfe

LG

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