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Legendre - Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Fr 07.02.2020
Autor: Steve96

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo, ich möchte gerne den Beweis  von folgendem Satz verstehen:


Satz 2.15

________________________________________________________________________________________________________________________________

Durch Orthogonalisierung der natürlichen Monombasis $\{1, x, \ldots, x^{n} \}$, $n \in \mathbb{N}$, mit dem Gram - Schmidt - Algorithmus ergeben sich die Polynome $p_{k} \in P_{k}$ (nicht normalisiert), welche sich in der Form


$p_{k}(x) = \frac{k!}{(2k)!} \frac{d^{k}}{dx^{k}} (x^{2} - 1)^{k}$, $k = 0, 1, \ldots, n$,  $(2.5.37)$


darstellen lassen. Für sie gilt die zweistufige Rekursionsformel


$p_{0} = 1$, $p_{1}(x) = x$,

$p_{k + 1}(x) =  x p_{k}(x) - \frac{k^{2}}{4k^{2} - 1} p_{k - 1} (x) $, $k = 1,2, \ldots, n - 1$,   $(2.5.38)$


sowie


$\vert \vert p_{k} \vert \vert = \frac{k!^{2}}{(2k)!} \sqrt{\frac{2^{2k + 1}}{2k + 1}}$, $p_{k}(1) = \frac{2^{k} k!^{2}}{(2k)!}.  $(2.5.39)$


Durch Normierung bei $x = 1$ erhält man die sog. "Legendre - Polynome"



$L_{k}(x) := \frac{(2k)!}{2^{k} k!^{2}} p_{k}(x)$, $L_{k}(1) = 1$, $k = 0, 1, 2, \ldots, n$.  $(2.5.40)$


________________________________________________________________________________________________________________________________





Doch bevor ich mich mit dem Beweis genauer beschäftige, möchte ich die Monombasis selber orthogonalisieren und damit das Polynom $p_{k}(x) = \frac{k!}{(2k)!} \frac{d^{k}}{dx^{k}} (x^{2} - 1)^{k}$ herleiten, weil die Herleitung nicht im Beweis vorhanden ist.



Das Gram - Schmidt - Verfahren aus der Vorlesung lautet:



__________________________________________________________________________________________________________________________



Zu jeder Basis $B:= \{\psi_{1}, \psi_{2},\ldots,  \psi_{n} \}$ von $S$ lässt sich ein Orthonormalsystem mit dem "Gram - Schmidt - Algorithmus" konstruieren:


$\tilde{\varphi}_{1}: = \psi_{1}$, $\varphi_{1} := \vert \vert \tilde{\varphi}_{1} \vert \vert^{- 1} \tilde{\varphi}_{1}$,



$k = 2, \ldots, n$:  $\tilde{\varphi_{k}} = \psi_{k}  - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} (\psi_{k}, \varphi_{i}) \varphi_{i}$, $\varphi_{k} := \vert \vert \tilde{\varphi}_{k}$, $\varphi_{k} := \vert \vert \tilde{\varphi}}_{k} \vert \vert ^{- 1}  \tilde{\varphi}}_{k} $



Das Ergebnis ist ein Orthonormalsystem $B':= \{ \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n} \}$.


__________________________________________________________________________________________________________________________




Sei $S := P_{3}$, wobei $P_{2}$ der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens $2$ ist,  und $B:= \{1, x, x^{2}, x^{3} \}$.

Für zwei Funktionen $f_{1}, f_{2} \in S$ definieren wir ihr Skalarprodukt wie folgt:

$\langle f_{1}, f_{2} \rangle := \int_{- 1}^{1} (f_{1} \cdot f_{2}) dx$


Ich werde die Basis $B$ zunächst nur orthogonalisieren und nicht orthonormalisieren.


1. Schritt: Berechne $\varphi_{1}$
________


Setze $\varphi_{1} := 1$.




2. Schritt: Berechne $\varphi_{2}$
________

Es ist

\left ( \int_{- 1}^{1} \right )^{-1}


$\varphi_{2} = x - \langle x, 1 \rangle \cdot 1 = x - \left ( \int_{- 1}^{1} x \cdot 1 \right )^{-1} = x -  \left (  \left [ \frac{1}{2} x^{2} \right]_{-1}^{1} \right )^{-1} =  x - \left ( \frac{1}{2} (1)^{2} - \left ( \frac{1}{2} (- 1)^{2} \right )  \right )^{- 1} = x - 0 = x$




3. Schritt: Berechne $\varphi_{3}$
________


Es ist

$\varphi_{3} = x^{2} - \left \langle x^{2}, 1 \right \rangle \cdot 1 - \left \langle x^{2}, x \right \rangle \cdot x$

$ = x^{2} - \left ( \int_{- 1}^{1} x^{2} \cdot 1 dx \right ) \cdot 1 - \left ( \int_{- 1}^{1} x^{2} \cdot x dx \right ) \cdot x $

$ = x^{2} - \left ( \int_{- 1}^{1} x^{2} dx \right )  - \left ( \int_{- 1}^{1} x^{3}dx \right ) \cdot x $

$ = x^{2} - \left [  \frac{1}{3} x^{3} \right ]_{- 1}^{1} - \left [  \frac{1}{4} x^{4} \right ]_{- 1}^{1} \cdot x $

$ = x^{2} - \left (   \frac{1}{3} (1)^{3} - \left ( \frac{1}{3} (- 1)^{3}   \right ) \right )  - \left (   \frac{1}{4} (1)^{4} - \left ( \frac{1}{4} (- 1)^{4}   \right ) \right ) \cdot x  $

$ = x^{2} - \frac{2}{3} - 0 \cdot x =  x^{2} - \frac{2}{3}$




4. Schritt: Berechne $\varphi_{4}$
________


Es ist

$\varphi_{4} = x^{3} - \left \langle x^{3}, 1 \right \rangle \cdot 1 - \left \langle x^{3}, x \right \rangle \cdot x - \left \langle x^{3}, x^{2} - \frac{2}{3} \right \rangle \cdot \left ( x^{2} - \frac{2}{3}  \right ) = \ldots = x^{3} - \frac{2}{5} x$




Wenn ich aber mein Ergebnis prüfen möchte, kommt nicht ganz das selbe heraus.


Betrachten wir zum Beispiel das Polynom $\varphi_{4} =  x^{3} - \frac{2}{3}$.



Es müsst dann gelten $p_{3}(x) = \frac{3!}{(2 \cdot 3)!} \frac{d^{3}}{dx^{3}} (x^{2} - 1)^{3} = x^{3} - \frac{2}{3} = \varphi_{4} $


Aber es ist $p_{3}(x) = \frac{3!}{(2 \cdot 3)!} \frac{d^{3}}{dx^{3}} (x^{2} - 1)^{3}  = \frac{1}{5} \left ( 4x^{3} - 2x \right )$




Was genau mache ich denn falsch ?



Freue mich auf eine Antwort.



lg, Steve


        
Bezug
Legendre - Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Sa 08.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das Gram - Schmidt - Verfahren aus der Vorlesung lautet:
>
> Zu jeder Basis [mm]B:= \{\psi_{1}, \psi_{2},\ldots, \psi_{n} \}[/mm]
> von [mm]S[/mm] lässt sich ein Orthonormalsystem mit dem "Gram -
> Schmidt - Algorithmus" konstruieren:
>  
>
> [mm]\tilde{\varphi}_{1}: = \psi_{1}[/mm], [mm]\varphi_{1} := \vert \vert \tilde{\varphi}_{1} \vert \vert^{- 1} \tilde{\varphi}_{1}[/mm],
>  
>
>
> [mm]k = 2, \ldots, n[/mm]:  [mm]\tilde{\varphi_{k}} = \psi_{k} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} (\psi_{k}, \varphi_{i}) \varphi_{i}[/mm],
> [mm]\varphi_{k} := \vert \vert \tilde{\varphi}_{k}[/mm], [mm]\varphi_{k} := \vert \vert \tilde{\varphi}}_{k} \vert \vert ^{- 1} \tilde{\varphi}}_{k}[/mm]
>  
>
>
> Das Ergebnis ist ein Orthonormalsystem [mm]B':= \{ \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n} \}[/mm].

Halten wir fest: Das ist das Gram-Schmidtsche-Orthonormalisierungsverfahren

> Ich werde die Basis [mm]B[/mm] zunächst nur orthogonalisieren und nicht orthonormalisieren.

Dann solltest du das auch mit dem Gram-Schmidtschen-Orthogonalisierungsverfahren tun. Nur weil du den Schritt der Normalisierung einfach weg lässt, wird aus dem Orthonormalisierungsverfahren nicht plötzlich das Orthogonalisierungsverfahren…  d.h. das Verfahren, welches du benutzt, ist nicht das korrekte.

Da fehlt für jeden Summanden das Dividieren durch [mm] $$, [/mm] das solltest du []hier nochmal nachschlagen.

> Es ist
>
> [mm]\varphi_{3} = x^{2} - \left \langle x^{2}, 1 \right \rangle \cdot 1 - \left \langle x^{2}, x \right \rangle \cdot x[/mm]

Korrekt wäre:  [mm]\varphi_{3} = x^{2} - \frac{\left \langle x^{2}, 1 \right \rangle}{<1,1>} \cdot 1 - \frac{\left \langle x^{2}, x \right \rangle}{} \cdot x[/mm]

Da $<1,1> = 2$ kämst du dann analog auf [mm] $\varphi_3(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{3}$ [/mm]

> Aber es ist [mm]p_{3}(x) = \frac{3!}{(2 \cdot 3)!} \frac{d^{3}}{dx^{3}} (x^{2} - 1)^{3} = \frac{1}{5} \left ( 4x^{3} - 2x \right )[/mm]

Hier verrechnest du dich ebenso… ohne Rechenweg aber keine Fehlersuche.
Es ist [mm] $p_3(x) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - [mm] \frac{3}{5}x$, [/mm] was bei Verwendung des korrekten Orthgonalisierungsverfahrens genau [mm] $\varphi_4$ [/mm] entspricht.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Legendre - Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Mo 10.02.2020
Autor: Steve96

Hallo, danke für die Korrektur. Jetzt komme ich auch auf die selben Polynome.



Kann man auch ganz allgemein auf die Formel
[mm] $p_{k}(x) [/mm] = [mm] \frac{k!}{(2k)!} \frac{d^{k}}{dx^{k}} (x^{2} [/mm] - [mm] 1)^{k}$ [/mm] kommen, in dem man direkt [mm] $\varphi_{k + 1}$ [/mm] berechnet ?


Wir hätten dann

[mm] $\varphi_{ k + 1} [/mm]  = [mm] \psi_{k + 1} [/mm] - [mm] \sum\limits_{i = 1}^{k} \frac{\langle \psi_{k + 1}, \varphi_{i}\rangle}{\langle \varphi_{i}, \varphi_{i}\rangle} \cdot \varphi_{i}$. [/mm]


Aber ich vermute, dass man diesen Ausdruck nicht so einfach berechnen kann, weil man die [mm] $\varphi_{i}$ [/mm] dafür berechnen müsste. Andererseits frage ich mich, wie man auf die obige Formel kommt, wenn man nur eine kleine Monombasis orthogonalisiert.

Ich z.B., würde nicht auf die Idee kommen, die Monome, die ich orthogonalisert habe, durch die obige Formel auszudrücken.




Kommen wir zum Beweis des Satzes:


Wir führen den Beweis in mehreren Schritten, wobei einige Rechnungen als Übungsaufgabe gestellt sind.


$(i)$ Wir zeigen zunächst, dass die durch $(2.5.37)$ definierten Polynome [mm] $p_{k} \in P_{k}$ [/mm] bzgl. des Skalarprodukts [mm] $(\cdot, \cdot [/mm] )$ orthogonal. Dies ergibt durch partielle Integration über dem Intervall $[-1, 1]$ (Übungsaufgabe).

Analog erschließen wir die Beziehungen $(2.5.39)$.


$(ii)$ Der führende Term von [mm] $p_{k}(x)$ [/mm] ist gemäß der Definition [mm] $x^{k}$. [/mm]

Folglich sind die [mm] $p_{k}$ [/mm] gerade die durch den Gram - Schmidt- Algorithmus aus der Monombasis erzeugten orthogonalen Polynome.


$(iii)$ Das Polynom [mm] $\left ( x^{2} - 1 \right )^{k}$ [/mm] ist eine gerade Funktion. Seine $k$ - ten Ableitungen sind dann ungerade oder gerade je nachdem, ob $k$ ungerade oder gerade ist.


Folglich ist [mm] $p_{k}(x) [/mm] = (- [mm] 1)^{k} p_{k}(- [/mm] x)$.

$(iv)$ Wegen [mm] $p_{k + 1}(x) [/mm] = [mm] x^{ k + 1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] $ ist [mm] $p_{k + 1} [/mm] (x) - x [mm] p_{k}(x) [/mm] = [mm] \gamma_{k} x^{k} [/mm] + [mm] \gamma_{k - 1} x^{k - 1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \gamma_{0}$ [/mm] mit gewissen Koeffizienten [mm] $\gamma_{k}, \ldots, \gamma_{0}$. [/mm]

Ist nun aber $ k + 1$ gerade, so ist das Polynom [mm] $p_{k + 1}(x) [/mm] - x [mm] p_{k}(x)$ [/mm] gerade aber [mm] $x^{k}$ [/mm] ungerade, so dass notwendig [mm] $\gamma_{k} [/mm] = 0$ sein muss.

Es gibt daher eine Darstellung [mm] $p_{k + 1}(x) [/mm] - x [mm] p_{k}(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} \gamma_{i} p_{i} [/mm] (x)$

mit den Polynomen [mm] $p_{0}, \ldots, p_{k - 1}$, [/mm] die ja als Orthogonalsystem eine Basis von [mm] $P_{ k - 1}$ [/mm] bilden.


Wegen der Orthogonalität der [mm] $p_{k}$ [/mm] folgt dann für $j = 0, [mm] \ldots, [/mm] k - 2$ :


$ 0 = ( [mm] p_{k + 1} [/mm] - x [mm] p_{k}, L_{j}) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{ k - 1} \gamma_{i} (p_{i}, p_{j}) [/mm] = [mm] \gamma_{j} \vert \vert p_{j} \vert \vert^{2}$, [/mm]


bzw. [mm] $\gamma_{0} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \gamma_{ k - 2} [/mm] = 0$.


Es besteht also eine zweistufige Rekursion der Form


[mm] $p_{k + 1} [/mm] (x) = x [mm] p_{k}(x) [/mm] + [mm] \gamma_{ k - 1} p_{ k - 1}(x)$. [/mm]



Zur Bestimmung des Koeffizienten [mm] $\gamma_{k - 1}$ [/mm] verwenden wir [mm] $p_{k}(1) [/mm] = [mm] \frac{k!^{2}}{(2k)!} 2^{k}$. [/mm]

Es ergibt sich:



[mm] $\gamma_{k - 1} [/mm] = [mm] \frac{p_{k + 1}(1) - p_{k}(1)}{p_{k - 1}(1)} [/mm] = [mm] \frac{ \frac{(k + 1)!^{2}}{(2k + 2)!} 2^{k + 1} - \frac{k!^{2}}{(2k)!} 2^{k}}{\frac{(k - 1)!^{2}}{(2k - 2)!}2^{ k - 1}}$ [/mm]

$ = [mm] \frac{4k^{2} ( k + 1)^{2} - 2k^{2} (2k + 2)(2k + 1)}{(2k + 2) (2k + 1) 2k (2k - 1)} [/mm] = [mm] \frac{k(k + 1) - k(2k + 1)}{(2k+ 1)(2k - 1)} [/mm] = -  [mm] \frac{k^{2}}{4k^{2} - 1}$, [/mm]

wie behauptet.

Q.E.D.



Dazu habe ich, wie immer, ein paar Fragen:





Zu (i)
_____

Um zu zeigen, dass die durch $(2.5.37)$ definierten Polynome [mm] $p_{k} \in P_{k}$ [/mm] bzgl. des Skalarprodukts [mm] $(\cdot, \cdot [/mm] )$ orthogonal sind, zeige ich einfach nur [mm] $(p_{s}, p_{k}) [/mm] = 0$, für $s [mm] \neq [/mm] k$, oder  ?


Dann haben wir:



[mm] $(p_{s}, p_{k}) [/mm] = [mm] \left ( \frac{s!}{(2s)!} \frac{d^{s}}{x^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s}, \frac{k!}{(2k)!} \frac{d^{k}}{x^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k}\right [/mm] ) = [mm] \int_{- 1}^{1} \frac{s!}{(2s)!} \frac{d^{s}}{x^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{k!}{(2k)!} \frac{d^{k}}{x^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm]  dx$


$ =   [mm] \frac{s! \cdot k!}{(2s)! \cdot (2k)!} \cdot \int_{- 1}^{1} \frac{d^{s}}{x^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{x^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm]  dx$


Wie kann man hier weiter vorgehen ?

Mir ist aufgefallen, dass wenn $s$ ungerade ist, dann ist die $s$ - te Ableitung ein ungerades Polynom. Ansonsten ist es gerade. Also konkreter:


Ist $s$ gerade, dann hat $ [mm] \frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} [/mm] $ die Gestalt [mm] $\sum\limits_{i = 0}^{\frac{s}{2}} a_{i} x^{s - 2i}$ [/mm]

Ist $s$ ungerade, dann hat $ [mm] \frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} [/mm] $ die Gestalt [mm] $\sum\limits_{i = 0}^{\frac{s - 1}{2}} a_{i} x^{s - 2i}$ [/mm]

Und für $k$ geht das genauso.



Muss man an dieser Stelle eine Art Fallunterscheidung machen beim Integrieren ? Oder gibt es einen besseren Weg ?



Die $(ii)$ und $(iii)$ sind soweit klar.


Die $(iv)$ schaue ich mir später noch einmal an, wenn ich Zeit habe, da ich gleich gehen muss.


Freue mich auf eine weitere Antwort :-)

Und sorry für die langen Texte, das ist bei mir immer so!

lg, Steve


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Legendre - Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Mo 10.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich z.B., würde nicht auf die Idee kommen, die Monome, die ich orthogonalisert habe, durch die obige Formel auszudrücken.

da zeigt sich mal wieder, wie wichtig Übung und Erfahrung ist… irgendwann entwickelt man ein Auge für so etwas.

> Um zu zeigen, dass die durch $ (2.5.37) $ definierten Polynome $ [mm] p_{k} \in P_{k} [/mm] $ bzgl. des Skalarprodukts $ [mm] (\cdot, \cdot [/mm] ) $ orthogonal sind, zeige ich einfach nur $ [mm] (p_{s}, p_{k}) [/mm] = 0 $, für $ s [mm] \neq [/mm] k $, oder  ?

Korrekt.

Anmerkung zum Folgenden: Du hast danach statt [mm] $\frac{d^k}{dx^k}$ [/mm] immer nur [mm] $\frac{d^k}{x^k}$ [/mm] geschrieben. Achte da doch das nächste Mal drauf.

> Mir ist aufgefallen, dass wenn $ s $ ungerade ist, dann ist die $ s $ - te Ableitung ein ungerades Polynom.

Das ist ja auch irgendwie logisch… es ist sogar nicht nur ungerade, sondern vom Grad s.
Denn: [mm] $(x^2 [/mm] - [mm] 1)^s$ [/mm] ist vom Grad 2s.
Dies wird s mal abgeleitet, mit jeder Ableitung sinkt der Grad des Polynoms, d.h. wir erhalten ein Polynom vom Grad 2s-s = s.

Das ist auch gut zu wissen, denn nun wissen wir, dass
[mm] $\frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k}$ [/mm] ein Polynom vom Grad $s+k$ ist. Ist $s+k$ nun ungerade, ist sofort klar, dass das Integral Null ergibt, denn für ein beliebiges ungerade Polynom [mm] $P_n(x)$ [/mm] gilt für beliebiges $c [mm] \in \IR$, [/mm] dass [mm] $\int_{-c}^c P_n(x) [/mm] dx = 0$

Ist $s+k$ nun gerade, so sind sowohl s als auch k beide ungerade oder beide gerade. Da nun $s [mm] \not= [/mm] k$ unterscheiden sie sich mindestens um 2, oBdA sei nun $s > k$ und wir erhalten für ein beliebiges $0 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] s$ durch Partielle Integration

[mm] $\int_{-1}^1 \frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx = [mm] (-1)^n \int_{-1}^1 \frac{d^{s-n}}{dx^{s-n}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k+n}}{dx^{k+n}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx$

Wählen wir nun $n = k+1 [mm] \not=s$ [/mm] so ist [mm] $\frac{d^{k+n}}{dx^{k+n}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \equiv [/mm] 0$ (warum?) und der Drops ist gelutscht.


Gruß,
Gono


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Legendre - Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mo 10.02.2020
Autor: Steve96

Hallo!


Bis hierhin ist alles klar und verständlich. Vielen Dank dafür.

Was ich noch nicht wirklich verstanden habe, ist folgender Teil:


> Ist [mm]s+k[/mm] nun gerade, so sind sowohl s als auch k beide
> ungerade oder beide gerade. Da nun [mm]s \not= k[/mm] unterscheiden
> sie sich mindestens um 2, oBdA sei nun [mm]s > k[/mm] und wir
> erhalten für ein beliebiges [mm]0 \le n \le s[/mm] durch Partielle
> Integration
>  
> [mm]\int_{-1}^1 \frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} dx = (-1)^n \int_{-1}^1 \frac{d^{s-n}}{dx^{s-n}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k+n}}{dx^{k+n}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} dx[/mm]
>

Wie genau kommt man auf diese Gleichung ? Du meintest ja, dass dies durch partielle Integration geht. Aber selbst wenn ich partiell integriere, komme ich nicht auf die rechte Seite.


Wie die $(- [mm] 1)^{n}$ [/mm] vor dem Integral auftaucht, weiß ich auch noch nicht.


Ich meine, der Term [mm] $\frac{d^{s - n}}{dx^{s - n}} \left ( x^{2} - 1 \right [/mm] ) ^{s}$ hat den Grad $2s - (s - n) = s + n$

Und der Term [mm] $\frac{d^{k + n}}{dx^{k + n}} \left ( x^{2} - 1 \right [/mm] ) ^{s}$ hat den Grad $2k - (k + n) = k - n$


Also hat der Term [mm] $\frac{d^{s - n}}{dx^{s - n}} \left ( x^{2} - 1 \right [/mm] ) ^{s} [mm] \cdot \frac{d^{k + n}}{dx^{k + n}} \left ( x^{2} - 1 \right [/mm] ) ^{k}$ hat den Grad $s - n  + (k +  n) = s + k$ .


Also ist   [mm] $\frac{d^{s - n}}{dx^{s - n}} \left ( x^{2} - 1 \right [/mm] ) ^{s} [mm] \cdot \frac{d^{k + n}}{dx^{k + n}} \left ( x^{2} - 1 \right [/mm] ) ^{k}$  eine gerades Polynom.


Aber wie kommt man auf $(- [mm] 1)^{n}$ [/mm] vor dem Integral ?


> Wählen wir nun [mm]n = k+1 \not=s[/mm] so ist
> [mm]\frac{d^{k+n}}{dx^{k+n}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \equiv 0[/mm]
> (warum?) und der Drops ist gelutscht.
>  

Naja, der Term $ [mm] \left ( x^{2} - 1 \right )^{k}$ [/mm] hat Grad $2k$. Die $k + n - 1 = 2k$ - te Ableitung hat Grad $ 2k - 2k = 0$.

Die $k + n = 2k + 1$ - te Ableitung ist also ein vom Nullpolynom verschiedenes  konstantes Polynom. Die nächst höhere Ableitung wäre dann das Nullpolynom.




lg, Steve


Bezug
                                        
Bezug
Legendre - Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 Di 11.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wie genau kommt man auf diese Gleichung ? Du meintest ja,
> dass dies durch partielle Integration geht. Aber selbst
> wenn ich partiell integriere, komme ich nicht auf die
> rechte Seite.

Na dann machst du was falsch.

> Wie die [mm](- 1)^{n}[/mm] vor dem Integral auftaucht, weiß ich auch noch nicht.

Tipp: Vollständige Induktion.
Aber für die Idee reicht ja ein Schritt, zeige also:

$ [mm] \int_{-1}^1 \frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx = - [mm] \int_{-1}^1 \frac{d^{s-1}}{dx^{s-1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx $

Dafür brauchst du nur, dass für jedes Legendre-Polynom gilt:
[mm] $p_k(\pm [/mm] 1) = 0$

> Die nächst höhere Ableitung wäre dann das Nullpolynom.

Korrekt

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Legendre - Polynome: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:32 Mi 12.02.2020
Autor: Steve96

Hallo,


> Tipp: Vollständige Induktion.
>  Aber für die Idee reicht ja ein Schritt, zeige also:
>  
> [mm]\int_{-1}^1 \frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} dx = - \int_{-1}^1 \frac{d^{s-1}}{dx^{s-1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} dx[/mm]


Es ist


[mm] $\int_{- 1}^{1} \frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm]  dx = [mm] \left [ \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \right ]_{ - 1}^{1} [/mm] - [mm] \int_{- 1}^{1} \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx$,

wenn man [mm] als$\frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} [/mm] $ als abgeleitete Funktion sieht.


Damit das nun mit deiner Aussage passt, müsste  [mm] $\left [ \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \right ]_{ - 1}^{1} [/mm] = 0$ gelten.


Wir haben gesagt, dass wenn $ s+ k$ gerade ist, dann müssen entweder $s$ und $k$ gerade sein, oder beide ungerade.

1. Fall: $s$ und $k$ ungerade
_____

Wenn $s$ ungerade ist, dann ist [mm] $\frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} [/mm] $ ein ungerades Polynom und folglich ist [mm] $\frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} [/mm] $ ein gerades Polynom.

Wenn $k$ ungerade ist, dann ist [mm] $\frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] $ ein ungerades Polynom.


Die Multiplikation eines geraden Polynoms mit einem ungeraden Polynom ergibt ein ungerades Polynom.

Also ist $z(x) :=   [mm] \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] $ ein ungerades Polynom.

Und bei ungeraden Polynomen ergibt das Integral von $- c$ bis $c$ (für ein beliebiges $c$) immer 0.

Also ist:


[mm] $\int_{- 1}^{1} \frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \int_{- 1}^{1} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx = [mm] \left [ \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \right ]_{ - 1}^{1} [/mm] - [mm] \int_{- 1}^{1} \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx = 0 - [mm] \int_{- 1}^{1} \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx$

$  = - [mm] \int_{- 1}^{1} \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx$





2. Fall: $s$ und $k$ gerade
_____

Wenn $s$ gerade ist, dann ist [mm] $\frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} [/mm] $ ein gerades Polynom und folglich ist [mm] $\frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} [/mm] $ ein ungerades Polynom.

Wenn $k$ gerade ist, dann ist [mm] $\frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] $ ein gerades Polynom.


Die Multiplikation eines geraden Polynoms mit einem ungeraden Polynom ergibt ein ungerades Polynom.

Also ist $z(x) :=   [mm] \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] $ ein ungerades Polynom.

Und bei ungeraden Polynomen ergibt das Integral von $- c$ bis $c$ (für ein beliebiges $c$) immer 0.

Also ist:


[mm] $\int_{- 1}^{1} \frac{d^{s}}{dx^{s}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \int_{- 1}^{1} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx = [mm] \left [ \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \right ]_{ - 1}^{1} [/mm] - [mm] \int_{- 1}^{1} \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx = 0 - [mm] \int_{- 1}^{1} \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx$

$  = - [mm] \int_{- 1}^{1} \frac{d^{s - 1}}{dx^{s - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{s} \cdot \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx$


Und induktiv geht das immer so weiter für $0 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] s$. Aber würde das nicht auch für $n [mm] \ge [/mm] s$ genauso gehen? Oder ergeben sich da irgendwelche Einschränkungen ?



Und das ganze würde auch gehen, wenn ich bei der partiellen Integration die Funktion $ [mm] \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k}$ [/mm] als abgeleitete Funktion betrachten würde.

Dann wäre in diesem Fall $0 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] k$, stimmts ? Aber da würden wir zu keinem Ergebnis kommen, so lange $s > k$ gilt.

Sonst ist der Rest klar.



Den Rest des Beweises schaue ich mir jetzt noch einmal genauer an.

Vielen Dank für deine Geduld und freue mich auf eine Rückmeldung.


Lg, Steve





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Legendre - Polynome: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mo 17.02.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Legendre - Polynome: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:43 Mi 12.02.2020
Autor: Steve96

Hallo nochmal!

Ich habe nochmal versucht, die Aussagen [mm] $\vert \vert p_{k} \vert \vert [/mm]  = [mm] \frac{k!^{2}}{(2k)!} \sqrt{\frac{2^{2k + 1}}{2k + 1}}$ [/mm] und [mm] $p_{k}(1) [/mm] = [mm] \frac{2^{k} k!^{2}}{(2k)!}$ [/mm] zu zeigen.

Komme an einer Stelle leider nicht weiter!


[mm] $\vert \vert p_{k} \vert \vert [/mm] =  [mm] \vert \vert \frac{k!}{(2k)!} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \vert \vert [/mm] = [mm] \frac{k!}{(2k)!} \cdot \vert \vert \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \vert \vert [/mm] = [mm] \frac{k!}{(2k)!} \cdot \sqrt{\int_{- 1}^{1} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} dx} [/mm] $



Betrachten wir das Integral [mm] $\int_{- 1}^{1} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx$

Ab hier nutze ich die partielle Integration und erhalte:

[mm] $\int_{- 1}^{1} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx  = [mm] \left [ \frac{d^{k - 1}}{dx^{k - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \right ]_{- 1}^{1} [/mm] - [mm] \int_{- 1}^{1} \frac{d^{k - 1}}{dx^{k - 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} \cdot \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k} [/mm] dx$


Ab hier komme ich nicht mehr weiter, da ich nicht mehr mit geraden und ungeraden Polynomen argumentieren kann.

Ich habe auch schon versucht, eine Formel zur Berechnung von [mm] $\frac{d^{k }}{dx^{k }} \left ( x^{2} - 1 \right )^{k}$ [/mm] zu finden, aber ab einer gewissen Stelle kommen zu viele Summanden vor, so dass ich keine vernünftige Formel dafür finde, da ich keine Struktur erkenne.


Un um die Gleichung [mm] $p_{k}(1) [/mm] = [mm] \frac{2^{k} k!^{2}}{(2k)!} [/mm] zu zeigen, muss ich spätestens jetzt eine Formel finden. Aber das gelingt mir seit Stunden nicht...


lg, Steve




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Legendre - Polynome: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mo 17.02.2020
Autor: matux

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