Legendre, Produkt beschreiben < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mi 19.09.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Satz:
Sei p [mm] \not= [/mm] 2 eine Primzahl und a [mm] \in \IZ [/mm] mit p teilt nicht a.
Dann gilt:
[mm] (\frac{a}{p}) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} (-1)^{[\frac{2ai}{p}]}
[/mm]
[mm] (\frac{a}{p}) [/mm] ->Legendre Symbol
[mm] [\frac{2ai}{p}] [/mm] -> Gaußklammer |
Beim beweis in meinen Skriptum verstehe ich schon den Anfang gar nicht.
Sei [mm] r_i [/mm] (für 1<= i <= [mm] \frac{p-1}{2}= [/mm] wie im gausschen Lemma* gewählt
Wir zeigen [mm] r_i [/mm] <0 <=> [mm] [\frac{2ai}{p}] \equiv [/mm] 1 (mod 2)
> Meine Frage schonmal warum müssen wir das zeigen, was bringt das?
1Fall:
[mm] r_i [/mm] >0
Dann gilt [mm] r_i [/mm] = ai - [mm] [\frac{ai}{p}] [/mm] p <= [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] < p/2
> Hier verstehe ich nicht warum [mm] r_i [/mm] = ai - [ [mm] \frac{ai }{p}] [/mm] p ?Und warum ai - [mm] [\frac{ai}{p}] [/mm] p <= [mm] \frac{p-1}{2}
[/mm]
Nun wird mit 2/p multipliziert
0 < [mm] \frac{2ai}{p} [/mm] - 2 [mm] [\frac{ai}{p}] [/mm] < 1
=> [mm] [\frac{ai}{p}] [/mm] = 2 [mm] [\frac{ai}{p}] \equiv [/mm] a (mod 2)
> Warum ist das nun [mm] \equiv [/mm] zu a modulo 2?
Ich hoffe das ich dne zweiten fall vlt dann auch verstehe, wenn mir mal wer das im ersten Fall erklären könnte.
Danke, LG
* Gaußschen lemma:
Sei p [mm] \not= [/mm] Pimzahl und a [mm] \in \IZ, [/mm] mit p teilt a nicht
Für ja [mm] \in \{a,2a,.., (p-1)/2 a\} [/mm] (d.h. 1 <= j <= [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] ) sei [mm] r_j \in \IZ [/mm] durch ja [mm] \equiv r_j [/mm] (p) und [mm] -\frac{p-1}{2} [/mm] <= [mm] r_j [/mm] <= [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] eindeutig festgelegt. Nun bezeichne [mm] \gamma_p [/mm] (a) die Anzahl der j [mm] \in \{1,2,.,\frac{p-1}{2} \} [/mm] für die [mm] r_j [/mm] <0 gilt. Dann ist
[mm] (\frac{a}{p}) [/mm] = [mm] (-1)^{\gamma_p(a)}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 19.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Satz:
> Sei p [mm]\not=[/mm] 2 eine Primzahl und a [mm]\in \IZ[/mm] mit p teilt
> nicht a.
> Dann gilt:
> [mm](\frac{a}{p})[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} (-1)^{[\frac{2ai}{p}]}[/mm]
>
> [mm](\frac{a}{p})[/mm] ->Legendre Symbol
> [mm][\frac{2ai}{p}][/mm] -> Gaußklammer
> Beim beweis in meinen Skriptum verstehe ich schon den
> Anfang gar nicht.
>
> Sei [mm]r_i[/mm] (für 1<= i <= [mm]\frac{p-1}{2}=[/mm] wie im gausschen
> Lemma* gewählt
> Wir zeigen [mm]r_i[/mm] <0 <=> [mm][\frac{2ai}{p}] \equiv[/mm] 1 (mod 2)
> > Meine Frage schonmal warum müssen wir das zeigen, was
> bringt das?
Im Gausschen Lemma spielt eben dieser Fall eine wichtige Rolle; der Grund fuer diese Vorgehensweise wird sich sicher aus dem Resultat rechtfertigen.
>
> 1Fall:
> [mm]r_i[/mm] >0
> Dann gilt [mm]r_i[/mm] = ai - [mm][\frac{ai}{p}][/mm] p <= [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] <
> p/2
> > Hier verstehe ich nicht warum [mm]r_i[/mm] = ai - [ [mm]\frac{ai }{p}][/mm]
> p ?Und warum ai - [mm][\frac{ai}{p}][/mm] p <= [mm]\frac{p-1}{2}[/mm]
Nach Definition gilt $ai= dp+ [mm] r_{i}$, [/mm] wobei [mm] $-\frac{p-1}{2}\leq r_{i}\leq \frac{p-1}{2}$. [/mm] Wenn die obige Gleichung also stimmt, dann folgt die Ungleichung ebenso sofort aus der Wahl von [mm] $r_{i}$. [/mm] Man mache sich also die Gleichung klar:
Nach obigem ist [mm] $\frac{ai}{p}= [/mm] d+ [mm] \frac{r_{i}}{p}$, [/mm] wobei nach Annahme $0< [mm] \frac{r_{i}}{p}< [/mm] 1$ gilt. Nach Definition der Gaussklammer ist damit $d= [mm] [\frac{ai}{p}]$. [/mm] Umstellen nach [mm] $r_{i}$ [/mm] liefert die Behauptung.
> Nun wird mit 2/p multipliziert
> 0 < [mm]\frac{2ai}{p}[/mm] - 2 [mm][\frac{ai}{p}][/mm] < 1
> => [mm][\frac{ai}{p}][/mm] = 2 [mm][\frac{ai}{p}] \equiv[/mm] a (mod 2)
> > Warum ist das nun [mm]\equiv[/mm] zu a modulo 2?
Das ist schlicht falsch. Als erstes folgt aus $0 [mm] <\frac{2ai}{p} [/mm] - [mm] 2[\frac{ai}{p}] [/mm] < 1$ und der Definition der Gaussklammer, dass [mm] $[\frac{2ai}{p}]= 2[\frac{ai}{p}]$ [/mm] gilt, sodass zweitens [mm] $[\frac{2ai}{p}]\equiv [/mm] 0$ modulo $2$ wie gewuenscht ist, denn Du wolltest ja zeigen [mm] $r_{i}<0\iff [\frac{2ai}{p}]\equiv [/mm] 1$ modulo $2$, aber wir sind ja im Fall [mm] $r_{i}>0$!
[/mm]
>
> Ich hoffe das ich dne zweiten fall vlt dann auch verstehe,
> wenn mir mal wer das im ersten Fall erklären könnte.
>
> Danke, LG
>
>
>
>
> * Gaußschen lemma:
> Sei p [mm]\not=[/mm] Pimzahl und a [mm]\in \IZ,[/mm] mit p teilt a nicht
> Für ja [mm]\in \{a,2a,.., (p-1)/2 a\}[/mm] (d.h. 1 <= j <=
> [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] ) sei [mm]r_j \in \IZ[/mm] durch ja [mm]\equiv r_j[/mm] (p) und
> [mm]-\frac{p-1}{2}[/mm] <= [mm]r_j[/mm] <= [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] eindeutig
> festgelegt. Nun bezeichne [mm]\gamma_p[/mm] (a) die Anzahl der j [mm]\in \{1,2,.,\frac{p-1}{2} \}[/mm]
> für die [mm]r_j[/mm] <0 gilt. Dann ist
> [mm](\frac{a}{p})[/mm] = [mm](-1)^{\gamma_p(a)}[/mm]
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 Di 25.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo, danke für deine Nachricht.
> Nach obigem ist $ [mm] \frac{ai}{p}= [/mm] d+ [mm] \frac{r_{i}}{p} [/mm] $, wobei nach Annahme $ 0< [mm] \frac{r_{i}}{p}< [/mm] 1 $ gilt
Wieso kanst du $ 0< [mm] \frac{r_{i}}{p}< [/mm] 1 $ einfach annehmen?
Fall [mm] r_i [/mm] <0
Dann gilt 0< [mm] r_i [/mm] + p = ai - [mm] [\frac{ai}{p}] [/mm] p <p
> FEHLT hier nicht ein +p???also das insgesamt steht:
> 0< [mm] r_i [/mm] + p = ai - [mm] [\frac{ai}{p}] [/mm] p +p <p
bzw. wohin ist das +p verschwunden? Da es später auch nicht auftaucht..?
Da [mm] r_i [/mm] + p >= - [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] + p = [mm] \frac{p+1}{2} [/mm] > p/2 folgt p/2 < ai - [mm] [\frac{ai}{p}] [/mm] p < p
nun * 2/p => 1 < [mm] \frac{2ai}{p} [/mm] - 2 [mm] [\frac{ai}{p}] [/mm] <2
=> 0 < [mm] \frac{2ai}{p} [/mm] - 2 [mm] [\frac{ai}{p}] [/mm] -1 < 1
=> [mm] [\frac{2ai}{p}] [/mm] = 2 [mm] [\frac{ai}{p}]+1 \equiv [/mm] 1 (2)
> warum +1 und nicht -1?
So jetzt ist gezeigt: $ [mm] r_i [/mm] $ <0 <=> $ [mm] [\frac{2ai}{p}] \equiv [/mm] $ 1 (mod 2)
Warum folgt nun das, was wir zeigen sollten??
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Di 25.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo, danke für deine Nachricht.
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> > Nach obigem ist [mm]\frac{ai}{p}= d+ \frac{r_{i}}{p} [/mm], wobei
> nach Annahme [mm]0< \frac{r_{i}}{p}< 1[/mm] gilt
> Wieso kanst du [mm]0< \frac{r_{i}}{p}< 1[/mm] einfach annehmen?
Es war doch [mm] $r_{i}< [/mm] p$ gewaehlt.
>
> Fall [mm]r_i[/mm] <0
> Dann gilt 0< [mm]r_i[/mm] + p = ai - [mm][\frac{ai}{p}][/mm] p <p
> > FEHLT hier nicht ein +p???also das insgesamt steht:
> > 0< [mm]r_i[/mm] + p = ai - [mm][\frac{ai}{p}][/mm] p +p <p
> bzw. wohin ist das +p verschwunden? Da es später auch
> nicht auftaucht..?
Das ganze ist schon einigermassen lueckenhaft: Es gilt $ai= [mm] [\frac{ai}{p}]p+ [/mm] r$ mit [mm] $0\leq [/mm] r<p$. Da [mm] $r_{i}<0$ [/mm] ist, sind wir im Fall [mm] $r>\frac{p}{2}$ [/mm] und erhalten das [mm] $r_{i}$ [/mm] durch $r-p$, sodass $ai= [mm] ([\frac{ai}{p}]+1)p+ r_{i}$ [/mm] gilt, bzw. [mm] $r_{i}= [/mm] ai- [mm] [\frac{ai}{p}]p- [/mm] p$. Daher "verschwindet" das $+p$.
>
> Da [mm]r_i[/mm] + p >= - [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] + p = [mm]\frac{p+1}{2}[/mm] > p/2
> folgt p/2 < ai - [mm][\frac{ai}{p}][/mm] p < p
>
> nun * 2/p => 1 < [mm]\frac{2ai}{p}[/mm] - 2 [mm][\frac{ai}{p}][/mm] <2
> => 0 < [mm]\frac{2ai}{p}[/mm] - 2 [mm][\frac{ai}{p}][/mm] -1 < 1
> => [mm][\frac{2ai}{p}][/mm] = 2 [mm][\frac{ai}{p}]+1 \equiv[/mm] 1 (2)
> > warum +1 und nicht -1?
Warum sollte es denn $-1$ sein? Im uebrigen sind $+1$ und $-1$ gleich Modulo $2$.
>
>
> So jetzt ist gezeigt: [mm]r_i[/mm] <0 <=> [mm][\frac{2ai}{p}] \equiv[/mm] 1
> (mod 2)
> Warum folgt nun das, was wir zeigen sollten??
>
> LG
Wenn mich mein Gedaechtnis nicht taeuscht war diese Aequivalenz der erste Teilschritt in eurem Beweis. Dies wird jetzt sicher im Lemma von Gauss eingesetzt, wo es ja um die Anzahl der [mm] $r_{i}$ [/mm] mit [mm] $r_{i}< [/mm] 0$ geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Di 25.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich danke dir vielmals für deine Hilfe. Dieses Lemma ist mir schon seit dem wir es gemacht haben ein Rätsel und nun lüftet sich der Beweis ällmählich. Ich danke dir.
> Dies wird jetzt sicher im Lemma von Gauss eingesetzt, wo es ja um die Anzahl der $ [mm] r_{i} [/mm] $ mit $ [mm] r_{i}< [/mm] 0 $ geht.
Bezeichne $ [mm] \gamma_p [/mm] $ (a) die Anzahl der j $ [mm] \in \{1,2,.,\frac{p-1}{2} \} [/mm] $ für die $ [mm] r_j [/mm] $ <0 gilt. Dann ist
$ [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] $ = $ [mm] (-1)^{\gamma_p(a)} [/mm] $
WIe kann ich das einsetzten? Im Skript ist der Beweis schon zu ende. Denn ich muss ja die ANZAHL der [mm] r_i [/mm] , die die EIgenschaft erfüllen einsetzten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Mi 26.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> Ich danke dir vielmals für deine Hilfe. Dieses Lemma ist
> mir schon seit dem wir es gemacht haben ein Rätsel und nun
> lüftet sich der Beweis ällmählich. Ich danke dir.
>
>
> > Dies wird jetzt sicher im Lemma von Gauss eingesetzt, wo es
> ja um die Anzahl der [mm]r_{i}[/mm] mit [mm]r_{i}< 0[/mm] geht.
>
> Bezeichne [mm]\gamma_p[/mm] (a) die Anzahl der j [mm]\in \{1,2,.,\frac{p-1}{2} \}[/mm]
> für die [mm]r_j[/mm] <0 gilt. Dann ist
> [mm](\frac{a}{p})[/mm] = [mm](-1)^{\gamma_p(a)}[/mm]
> WIe kann ich das einsetzten? Im Skript ist der Beweis
> schon zu ende. Denn ich muss ja die ANZAHL der [mm]r_i[/mm] , die
> die EIgenschaft erfüllen einsetzten.
Einsetzen ist wohl nicht ganz gut gesagt: Nach Gauss ist [mm] $(\frac{a}{p})= (-1)^{\gamma}$, [/mm] wobei [mm] $\gamma$ [/mm] die Anzahl der [mm] $r_{i}$ [/mm] mit [mm] $r_{i}<0$. [/mm] Ferner hast Du bewiesen, dass [mm] $r_{i}<0\iff [\frac{2ai}{p}]=1$ [/mm] mod $2$. Also weisst Du, dass die Anzahl [mm] $\gamma$ [/mm] der [mm] $r_{i}<0$ [/mm] gleich der Anzahl der $i$ mit [mm] $[\frac{2ai}{p}]=1$ [/mm] mod $2$ ist. Dann gilt [mm] $(\frac{a}{p})= (-1)^{\gamma}= \prod_{i=1, [\frac{2ai}{p}]\equiv_{2} 1}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^{[\frac{2ai}{p}]}= \prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^{[\frac{2ai}{p}]}$, [/mm] weil die Potenzen mit den geraden Exponenten $=1$ ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Do 27.09.2012 | | Autor: | sissile |
Großes Danke an dich.
LG
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