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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:00 So 21.10.2012 | | Autor: | mart1n |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:[0,\infty[ \to [0,\infty [/mm] eine monoton fallende Funktion mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)=0 Existiert das uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x)*sin(\pi*x) dx} [/mm] Beweisen Sie Ihre Vermutung. Hinweis http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium |
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Jedes Integral lässt sich durch eine Summe annähern in diesem Fall habe ich diese Ungleichung bestimmt:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x)*sin(\pi*x) dx} \le \summe_{i=0}^{\infty} f(x)*sin(\pi*x) [/mm]
aufgrund des Hinweises unseres Profs habe ich die Summe mithilfe des Leibnizkriteriums untersucht. Die Nullfolge ist ja bereits in der Aufgabenstellung gegeben. Was mit also noch fehlt ist die alternierende Reihe.
Dazu habe ich mir folgendes Überlegt: der Sinus besitzt alternierende vorzeichen, wenn der Gangunterschied [mm] =\pi [/mm] beträgt. Meine Ausgangsgleichung ist sin(w*x). Daraus folgt
w(x+1)-wx = [mm] \pi
[/mm]
daraus folgt w = [mm] \pi
[/mm]
rein Theoretisch habe ich jetzt eine alternierende Reihe. Leider bereitet mit die Tatsache, dass nur natürliche Zahlen zugelassen sind Kopfzerbrechen, denn streng genommen Summiere ich ja nur Nullen auf.
Da ich mir hier unschlüssig war habe ich trotz des Tipps unseres Professors mit dem Majorantenkriterium versucht. Ich habe dazu die Summe wie folgt abgeschätzt:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] f(x)*sin(w*x) [mm] \le \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] f(x)*1)
für den Fall, dass f(x) [mm] \not= \bruch{1}{x} [/mm] ist hätte ich eine Konvergente Majorante.
Ich habe nun zwei Fragen:
Erstens: wie verfahre ich am besten, wenn ich das Leibnizkriterium anwenden möchte
Zweitens: darf ich das Majorantenkriterium anwenden. Ich habe lediglich eine Grenze gefunden, allerdings ist die Funktion nicht monoton.
Ich bedanke mich bereits für eure Hilfe
Grüße
mart1n!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 23.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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