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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mo 14.06.2010 | | Autor: | rml_ |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n [/mm] * ( [mm] \sqrt{n+3} [/mm] - [mm] \sqrt{n+1} [/mm] )
konvergent? |
hallo:)
die reihe ist alternierend, somit gilt das leibnitzskriterium, somit muss nur
( [mm] \sqrt{n+3} [/mm] - [mm] \sqrt{n+1} [/mm] ) eine monotone nullfolge sein , kann ich allein vom sehen her sagen dass dies nicht zutrifft, da [mm] \sqrt{n+3} [/mm] > [mm] \sqrt{n+1}?
[/mm]
danke
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Hiho,
> die reihe ist alternierend, somit gilt das
> leibnitzskriterium, somit muss nur
> ( [mm]\sqrt{n+3}[/mm] - [mm]\sqrt{n+1}[/mm] ) eine monotone nullfolge sein
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> , kann ich allein vom sehen her sagen dass dies nicht
> zutrifft, da [mm]\sqrt{n+3}[/mm] > [mm]\sqrt{n+1}?[/mm]
Kannst du das? Es ist offensichtlich
$1 > (1 - [mm] \bruch{1}{n})$ [/mm] aber $1 - (1 - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] eine Nullfolge.
Also schau da nochmal drauf:
Tip: Erweitern mithilfe der 3. binomischen Formel
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mo 14.06.2010 | | Autor: | rml_ |
ok hab ich gemacht
der grenzwert ist dann 2, da sich n rauskürzt , somit keine nullfolge, somit divergenz?
edit: kann ich das bei jeder reihe tun? oder wann genau ist das sinnvoll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok hab ich gemacht
>
> der grenzwert ist dann 2, da sich n rauskürzt , somit
> keine nullfolge, somit divergenz?
rechnen wir es nach:
Mit [mm] $a_n:= \sqrt{n+3} [/mm] - [mm] \sqrt{n+1} [/mm] $ gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;0 \le \blue{a_n}=(\sqrt{n+3} [/mm] - [mm] \sqrt{n+1})*\frac{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}}=\frac{n+3-(n+1)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}\blue{=\frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}} \le \frac{2}{\sqrt{n}}\,.$$
[/mm]
Also meines Erachtens gilt sehr wohl [mm] $a_n \to 0\,.$ [/mm] Wenn Du wissen willst, wo Dein Fehler liegt (vielleicht hast Du einfach nur den Nenner "verschlampt"?), dann poste uns vielleicht einfach mal Deine Rechnung.
> edit: kann ich das bei jeder reihe tun? oder wann genau ist
> das sinnvoll?
Es ist für jede Reihe [mm] $\sum_n x_n$ [/mm] sinnvoll, zunächst zu prüfen, ob [mm] $x_n \to [/mm] 0$ gilt. Denn sollte [mm] $x_n \not\to [/mm] 0$ (d.h. [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ist entweder divergent oder aber [mm] $(x_n)_n$ [/mm] konvergiert gegen einen Wert [mm] $\not=0$), [/mm] so kann man direkt folgern, dass [mm] $\sum_n x_n$ [/mm] divergiert.
Wichtig:
Wenn aber [mm] $x_n \to [/mm] 0$ gilt, dann weiß man noch nicht, dass die Reihe auch konvergent ist. (Sie kann es dann sein, muss es aber nicht:
Z.B. ist [mm] $\sum_n [/mm] 1/n$ divergent und es gilt $1/n [mm] \to 0\,,$ [/mm] aber [mm] $\sum_n 1/n^2$ [/mm] ist konvergent und auch hier gilt [mm] $1/n^2 \to [/mm] 0$.)
Dann muss man schauen, ob man die Konvergenz oder Divergenz der betrachteten Reihe mithilfe eines anderen (passenden) Kriteriums nachweisen kann.
Also:
[mm] $x_n \to [/mm] 0$ ist notwendig für die Konvergenz von [mm] $\sum_n x_n$, [/mm] aber [mm] $x_n \to [/mm] 0$ ist nicht hinreichend für die Konvergenz von [mm] $\sum_n x_n\,.$
[/mm]
P.S.:
Um mit [mm] $a_n:= \sqrt{n+3} [/mm] - [mm] \sqrt{n+1}$ [/mm] die Konvergenz von [mm] $\sum_n (-1)^n a_n$ [/mm] mithilfe des Leibnizkriteriums folgern zu können, bist Du oben übrigens noch nicht fertig. [mm] $(a_n)_n$ [/mm] muss ja dann eigentlich drei Voraussetzungen erfüllen:
1.) [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für jedes [mm] $n\,$ [/mm] (es würde auch schon reichen, wenn wir dies ab einem (genügend großen) [mm] $n_0$ [/mm] wüßten). Wie begründet man das bei [mm] $a_n= \sqrt{n+3} [/mm] - [mm] \sqrt{n+1}$?
[/mm]
2.) [mm] $a_n \to [/mm] 0$ (das habe ich oben nachgerechnet).
3.) [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist monoton fallend, das heißt:
[mm] $$a_{n+1} \le a_n\text{ für jedes }n\text{ (auch hier würde es schon reichen, wenn wir dies ab einem (genügend großen) } n_0 \text{ wüßten). }$$
[/mm]
Dabei ist 2.) nun erledigt, und 1.) kannst Du sicher noch (schnell) begründen.
Der Nachweis von 3.) ist sicher nicht ganz trivial, wenn man mit [mm] $a_{n+1}=\sqrt{n+4} [/mm] - [mm] \sqrt{n+2}$ [/mm] und [mm] $a_n=\sqrt{n+3} [/mm] - [mm] \sqrt{n+1}$ [/mm] rechnet. Aber wir haben ja in [mm] $(\*)$ [/mm] eine schönere Schreibweise für [mm] $a_n$ [/mm] stehen, die das ganze hier vereinfacht (bleibt bei einem Bruch mit Zähler [mm] $\ge [/mm] 0$ und Nenner $> 0$ der Zähler konstant und wächst der Nenner, so ist der so neu enstandene Bruch kleinergleich dem vorherigen).
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:24 Mo 14.06.2010 | | Autor: | rml_ |
danke für deine ausführliche antwort, das bringt mich sehr weiter:)
eine frage noch, was sind denn so typische umformung/ Tricks, wie die mit der erweiterung mit der 3.binomishcen formel, denn darauf wäre ich selbst nicht gekommen:)
danke
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> eine frage noch, was sind denn so typische umformung/
> Tricks, wie die mit der erweiterung mit der 3.binomishcen
> formel, denn darauf wäre ich selbst nicht gekommen:)
Hallo,
das macht nicht so viel.
Ein paarmal sieht man sowas, haut sich vor die Stirn und sagt: darauf wär' ich nie gekommen.
Beim nächsten Mal macht man es dann auch.
Ich halte es für unmöglich und auch sinnlos, hier eine kochrezeptartige Sammlung von Standardtricks zu posten. Sie sind doch immer von der Situation abhängig.
Man lernt sie am besten, indem man eine Vielzahl von Aufgaben rechnet, vorgerechnete Aufgaben durch- und nacharbeitet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo rml!
Der Herr Leibniz schreibt sich ohne "t", damit er auch nicht mit irgendwelchen Butterkeksherstellern verwechselt werden kann.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Marcel |
> Hallo rml!
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>
> Der Herr Leibniz schreibt sich ohne "t", damit er auch
> nicht mit irgendwelchen Butterkeksherstellern verwechselt
> werden kann.
Pssst. Die Leute arbeiten doch an solchen Aufgaben, weil sie einen (schokoladenüberzogenen) Butterkeks ergattern wollen. 
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Zumal die Kekse ja gerade nach DEM Leibniz benannt wurden 
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> Hallo rml!
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>
> Der Herr Leibniz schreibt sich ohne "t", damit er auch
> nicht mit irgendwelchen Butterkeksherstellern verwechselt
> werden kann.
Mensch Loddar,
der Butterkekshersteller heißt doch Bahlsen!
Gruß v. Angela,
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Leibniz-Butterkeks