Leibnizregel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Maxga |
| Aufgabe | Sei K Körper mit char(K) = 0. Für k [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] definieren wir die k-te partielle Ableitung als die K-lineare Abbildung:
[mm] \delta_k [/mm] : [mm] K[X_1,...,X_n] [/mm] -> [mm] K[X_1,...,X_n] [/mm] , [mm] X_1^{\alpha_1}...X_n^{\alpha_n} \mapsto \alpha_k X_1^{\alpha_1}...X_k^{\alpha_k -1}...X_n^{\alpha_n}.
[/mm]
Da [mm] \delta_k [/mm] auf der Basis der Monome definiert wurde, ist somit ein Homomorphismus von Vektorräumen definiert.
Zeige die Leibnizregel für Polynome:
[mm] \delta_k [/mm] (f*g) = [mm] f*\delta_k(g) [/mm] + [mm] \delta_k(f)*g [/mm] |
Edit: Oh wow vergesst es, Müdigkeit regelt..
Folgender simpler Beweis sollte korrekt sein oder? ( f = [mm] \summe_{i=(i_1,...,i_n)} (a_i *X_1^{i_1}...X_n^{i_n}) [/mm] ,
g = [mm] \summe_{j=(j_1,...,j_n)} (b_j *X_1^{j_1}...X_n^{j_n}) [/mm] )
f*g = [mm] \summe_{x=(x_1,...,x_n)} ((\summe_{i+j=x} a_i*b_j) X_1^{x_1}...X_n^{x_n})
[/mm]
Und damit
[mm] \delta_k(f*g) [/mm] = [mm] \summe_{x=(x_1,...,x_n)} x_k*((\summe_{i+j=x} a_i*b_j)X_1^{x_1}...X_k^{x_k -1}...X_n^{x_n}) [/mm]
=
[mm] \summe_{x=(x_1,...,x_n)} ((\summe_{i+j=x , i=(i_1,...,i_n), j=(j_1,...,j_n)}(i_k+j_k)* a_i*b_j)X_1^{x_1}...X_k^{x_k -1}...X_n^{x_n}) [/mm]
=
[mm] \summe_{x=(x_1,...,x_n)} ((\summe_{i+j=x, i=(i_1,...,i_n), j=(j_1,...,j_n)}i_k* a_i*b_j)X_1^{x_1}...X_k^{x_k -1}...X_n^{x_n}) [/mm] + [mm] \summe_{x=(x_1,...,x_n)} ((\summe_{i+j=x, i=(i_1,...,i_n), j=(j_1,...,j_n)}j_k* a_i*b_j)X_1^{x_1}...X_k^{x_k -1}...X_n^{x_n}) [/mm]
=
[mm] f*\delta_k(g) [/mm] + [mm] \delta(g)_k*f[/mm]
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Hi Maxga,
Ich sehe gerade dein Edit... Das sind ja noch mehr Klammern und Indizes! Ich glaube aber, es passt alles. Übrigens kann man getrost $ [mm] fg=\sum_{i, j} a_ib_j\prod_k X_k^{i_k+j_k} [/mm] $, daran ist nichts verwerflich und es ist etwas übersichtlicher.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Maxga |
| Aufgabe | Für f [mm] \in K[X_1,...,X_n] [/mm] und a [mm] \in K^n [/mm] bezeichne f(a) das Bild von f unter dem Auswertungshomomorphismus [mm] K[X_1,...,X_n] [/mm] -> K, welcher [mm] X_i \mapsto a_i [/mm] abbildet. Zeige:
a) Wenn K unendlich viele Elemente hat und f(a) = 0 für alle a [mm] \in K^n [/mm] , dann ist f das Nullpolynom. Schlussfolgere, dass zwei Polynome genau dann gleich sind, wenn sie die gleichen Funktionen [mm] K^n [/mm] -> K definieren.
b)Finde ein Beispiel für einen endlichen Körper K und zwei verschiedene Polynomem f,g [mm] \in K[X_1,...,X_n] [/mm] mit f(a) = g(a) für alle a [mm] \in K^n. [/mm] |
Ok danke dir!
Ja hatte mich 1 zu 1 an die Definition der Polynommultiplikation gehalten wie sie im Buch stand, darum wurde das alles etwas hässlich.
Deine Schreibweise ist natürlich schöner, danke dafür:D
Habe noch eine Frage zu einer weiteren Aufgabe, ich hoffe, es ist okay, wenn ich die auch gleich hier stelle, dann muss ich nicht extra nen neues Thema aufmachen.
Ich verstehe die Aufgabenstellung irgendwie nicht so richtig. Der Auswertungshomomorphismus bzgl. einer Stelle a ist doch folgender oder?:
[mm] \phi_a [/mm] : [mm] K[X_1,...,X_n] [/mm] -> K , [mm] \summe_{i \in \IN^n} b_i*X^i \mapsto \summe_{i \in \IN^n} b_i*a^i
[/mm]
und hängt damit nur von der betrachteten Stelle ab. Damit ist
f(a) = [mm] \phi_a(f).
[/mm]
Ist nun in der Aufgabenstellung a) gemeint, dass wenn f.a. a [mm] \in K^n [/mm] gilt, dass [mm] \phi_a(f) [/mm] = [mm] \phi_a(g) [/mm] , dass dann auch f=g gelten muss?
Oder was ist damit gemeint, "wenn sie die gleichen Funktionen definieren"?
Danke auch hier schonmal!
lg
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Hi,
Ein Polynom $ f $ definiert die Funktion [mm] $\widetilde [/mm] {f} $ durch $ [mm] a\longmapsto [/mm] f (a)$, wobei $ f (a)$ einfach [mm] $\phi_a [/mm] (f)$ ist. Du sollst zeigen, dass für einen unendlich Körper die Abbildung $ [mm] f\longmapsto\widetilde [/mm] {f} $ injektiv ist.
Übrigens gilt dies genau für die unendlichen Körper, das heißt für jeden endlichen Körper findest du ein Beispiel, wie in b gesucht. Am besten überlegst du dir das also direkt allgemein.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Maxga |
Ok alles klar, das klingt logisch.
Dann setzt ich mich mal ran, danke dir für die Hilfe!
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Di 14.01.2014 | | Autor: | Maxga |
Hey,
stimmt die Aussage denn überhaupt so,wie sie da steht?
Oder muss der Körper noch zusätzlich die Charakteristik 0 besitzen?
Beweisansatz war folgender:
[mm] \summe_{i \in \IN^n} b_i*a^i [/mm] = [mm] \summe_{i \in \IN^n} c_i*a^i [/mm] f.a. a [mm] \in K^n
[/mm]
<=>
[mm] \summe_{i \in \IN^n} (b_i-c_i)*a^i [/mm] = 0 f.a. a [mm] \in K^n.
[/mm]
Wenn aber die Charakteristik ungleich 0 ist folgt nicht zwangsläufig [mm] b_i [/mm] = [mm] c_i [/mm] f.a. i.
Darum geht z.B. als Gegenbeispiel bei b) auch der Körper [mm] \IZ_{3},
[/mm]
denn für f=2*X, g=X+X³ ist:
f(0) = 0 = g(0)
f(1) = 2*1 = 1+1=g(1)
f(2) = 4 mod 3 = 1 = 10 mod 3 = g(2),
aber f [mm] \not= [/mm] g
Und zu a) nochmal:
Wenn ich den Körper [mm] \IZ_{2}(X) [/mm] der rationalen Funktionen über [mm] \IZ_{2} [/mm] betrachte, welcher unendlich ist,
und dort f=X+X² , g=X+X³ betrachte. Dann ist egal welches [mm] h=\bruch{P}{Q} \in \IZ_{2}(X) [/mm] ich betrachte, dann ist f(h(x)) = 0 = g(h(x)) sowohl für x = 0 als auch für x=1, demnach f [mm] \circ [/mm] h = g [mm] \circ [/mm] h
Dann ist doch f(x) = g(x) für alle x [mm] \in \IZ_{2}(X) [/mm] , was im Widerspruch zur beweisenden Aufgabe steht?
lg
Edit: Okay,
ich glaube ich habe da was durcheinandergeworfen, wsh. sind Elemente in [mm] \IZ_{2}(X) [/mm] wirklich nur gleich, wenn sie die gleichen Koeffizienten haben, und nicht, wenn die definierten Funktionen die gleichen Werte liefern, weil [mm] \IZ_2 [/mm] eben nicht unendlich ist, was ich gerade zeigen will, dass das so ist :p
Naja ich warte trotzdem vorsichtshalber noch die Antwort ab.
Edit2:
Lässt sich das über die Nullstellen von der Differenz beweisen?
Also f(a) = g(a) f.a. a [mm] \in K^n.
[/mm]
Dann ist jedes a aus [mm] K^n [/mm] eine Nullstelle von f-g. Nullstellen lassen sich als Linearfaktor abspalten(das gilt auch in allgemeinen Körpern oder?), wodurch sich der Grad um 1 verringert.
Weil K unendlich Elemente hat, hat f-g unendlich Nullstellen, also muss
Grad(f-g) <= 0 sein, f-g ist also konstant. Dann muss f-g aber die Nullfunktion sein, weil es Nullstellen besitzt.
Folgt hieraus dann auch wirklich f=g ?
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Hi Maxga,
nein, Charakteristik $0$ ist nicht nötig. Zuerst überlege dir, wie in der Aufgabenstellung vorgeschlagen: Ist [mm] $f=\sum_ka_kX^k$ [/mm] und $f(a)=0$ für alle [mm] $a\in [/mm] K$, so gilt $f=0$. Vorgehen könnte man in der folgenden Reihenfolge:
(i) Ist [mm] $f\not=0$ [/mm] ein Polynom mit $f(a)=0$, so gilt $f=g(X-a)$ mit [mm] $\deg g=\deg [/mm] f-1$.
(ii) Ein nichtkonstantes Polynom vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen.
Hieraus folgt die Behauptung.
Zu deiner Frage mit dem rationalen Funktionenkörper: Wenn du ein Element aus [mm] $\IZ_2(X)$ [/mm] auswählst, ist das in diesem Fall ein Körperelement, das du betrachtest. Die Aussage lautet dann - ist $f$ ein Element aus [mm] $\IZ_2(X)[Y]$ [/mm] - dem Plynomring in der Unbestimmten $Y$ über [mm] $\IZ_2(X)$, [/mm] so folgt aus [mm] $\widetilde{f}=0$, [/mm] dass $f=0$.
Für mehrere Unbestimmte kannst du z.B. Induktion nach der Anzahl der Unbestimmten machen.
Nun zu endlichen Körpern:
Dein Beispiel stimmt. Dies lässt sich auch so begründen, dass $g-f=0$ ist, dieses Polynom ist gerade [mm] $X^3-X$. [/mm] Allgemein gilt im Körper [mm] $\IZ/(p)$ [/mm] für eine Primzahl $p$, dass [mm] $X^p-X$ [/mm] die Nullfunktion definiert. Wieso?
Man kann es auch direkt für jeden endlichen Körper machen. Seien [mm] $a_1,\dots,a_n$ [/mm] die Elemente von $K$. Dann ist [mm] $(X_a_1)\cdot\dots\cdot(X-a_n)$ [/mm] nicht das Nullpolynom (warum?), aber es gilt $f(a)=0$ für alle [mm] $a\in [/mm] K$.
Alternativ kannst du so vorgehen: Wie viele Elemente besitzt $K[X]$? Wie viele Elemente besitzt [mm] $\operatorname{Abb}(K,K)$? [/mm] Was folgt hieraus?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Di 14.01.2014 | | Autor: | Maxga |
Danke dir auf jeden Fall für die Hilfe, aber irgendwie bin ich jetzt total verwirrt.
Nochmal so, wie ich es jetzt verstanden habe:
Wenn die von zwei Polynomen f und g definierten Funktionen
[mm] \widetilde_{f} [/mm] , [mm] \widetilde_{g} [/mm] gleich sind, dann kann ich daraus wie in meinem Edit2 steht herleiten, dass f-g=0 gelten muss.
Die Vorgehensweise klingt ähnlich zu deiner, nochmal wiederholt:
Wenn [mm] \widetilde_{f} [/mm] = [mm] \widetilde_{g}, [/mm] dann ist [mm] \widetilde_{f} [/mm] - [mm] \widetilde_{g} [/mm] = 0.
Frage: Laut Kommentar in der Aufgabenstellung würde dann doch jetzt bereits folgen, dass f-g das Nullpolynom ist, und damit f=g gelten muss oder nicht? Wozu noch das folgende?
Also ist jedes Element in a Nullstelle von [mm] \widetilde_{f} [/mm] - [mm] \widetilde_{g}, [/mm] d.h.
(f-g) = [mm] (\produkt_{a \in K^n}(X-a))*s [/mm] für ein Polynom s. [mm] grad(s)=-\infty [/mm] weil es unendlich viele Elemente in K gibt und sich durch jeden abgespaltenen Linearfaktor der Grad um 1 verringert.
Also ist s(somit auch f-g) das Nullpolynom.
Also f-g = 0 => f-g+g = g => f = g.
Irgendwie fühle ich mich nicht so, als hätte ich wirklich etwas gezeigt.
Sorry, dass ich mich gerade wsh. etwas doof anstelle ;)
lg
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Hi,
> Danke dir auf jeden Fall für die Hilfe, aber irgendwie bin
> ich jetzt total verwirrt.
> Nochmal so, wie ich es jetzt verstanden habe:
> Wenn die von zwei Polynomen f und g definierten
> Funktionen
> [mm]\widetilde_{f}[/mm] , [mm]\widetilde_{g}[/mm] gleich sind, dann kann ich
> daraus wie in meinem Edit2 steht herleiten, dass f-g=0
> gelten muss.
> Die Vorgehensweise klingt ähnlich zu deiner, nochmal
> wiederholt:
> Wenn [mm]\widetilde_{f}[/mm] = [mm]\widetilde_{g},[/mm] dann ist
> [mm]\widetilde_{f}[/mm] - [mm]\widetilde_{g}[/mm] = 0.
>
> Frage: Laut Kommentar in der Aufgabenstellung würde dann
> doch jetzt bereits folgen, dass f-g das Nullpolynom ist,
> und damit f=g gelten muss oder nicht? Wozu noch das
> folgende?
Dies ist kein Kommentar, sondern dies alleine ist die Aufgabe! Dies ist zu zeigen.
> Also ist jedes Element in a Nullstelle von [mm]\widetilde_{f}[/mm]
> - [mm]\widetilde_{g},[/mm] d.h.
> (f-g) = [mm](\produkt_{a \in K^n}(X-a))*s[/mm] für ein Polynom s.
> [mm]grad(s)=-\infty[/mm] weil es unendlich viele Elemente in K gibt
> und sich durch jeden abgespaltenen Linearfaktor der Grad um
> 1 verringert.
> Also ist s(somit auch f-g) das Nullpolynom.
> Also f-g = 0 => f-g+g = g => f = g.
> Irgendwie fühle ich mich nicht so, als hätte ich
> wirklich etwas gezeigt.
> Sorry, dass ich mich gerade wsh. etwas doof anstelle ;)
>
> lg
Ich bin mit dem Beweis noch nicht völlig zufrieden, aber fast. Der Punkt ist aber der, dass der Term [mm] $\prod_{a\in K}(X-a)$ [/mm] gar nicht definiert ist, weil Polynome immer nur endlichen Grad haben, was hier nicht der Fall wäre, weil $K$ eben unendlich viele Elemente besitzt. Du kannst es aber fast gleich lassen, wenn du sagst: Sei $f-g$ vom Grad $d$. Da $K$ unendlich ist, existiert eine $d+1$-elementige Teilmenge $S$ von $K$, sodass $(f-g)(a)=0$ für alle [mm] $a\in [/mm] S$. Durch sukzessives abspalten von Linearfaktoren kann man dann schreiben [mm] $f-g=\prod_{a\in K}(X-a)\cdot [/mm] s$, wobei $s$ höchstens Grad $d-(d+1)$ hat, somit also Grad [mm] $-\infty$.
[/mm]
Ist der Aufgabenteil über endliche Körper klar? 
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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