Lemma von Bézout < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Fr 19.09.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie das Lemma von Bézout: Es gibt [mm] \alpha, \beta \in \IZ [/mm] mit ggT(a,b) = [mm] \alpha*a [/mm] + [mm] \beta*b. [/mm] |
Ich würde dieses Lemma gerne mit Hilfe des euklidischen Algorithmus beweisen. Der Algorithmus ist mir bekannt, ich weiss aber nicht genau, wie ich für den Beweis vorgehen soll...!
Wie kann ich da am besten beginnen?
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 22:12 Fr 19.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Wie kann ich da am besten beginnen?
Um es vorweg zu sagen: Ich habe keine Ahnung von "Beweisen".
Aber ich habe eine Idee, wie man beginnen könnte.
Ich nehme zum Beispiel: a=20 und b=12
Es ist 20=4*5 und 12=4*3 ==> der ggT ist also 4
Du suchst nun also [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] , so dass
4 = [mm] \alpha [/mm] *20 + [mm] \beta [/mm] *12 (hier ist [mm] \alpha [/mm] = 2 und [mm] \beta [/mm] = -3)
Man könnte die ganze Gleichung auch durch 4 (also den ggT) dividieren:
1 = [mm] \alpha [/mm] *5 + [mm] \beta [/mm] *3
Die 5 bzw. die 3 sind dabei die Restfaktoren aus den obigen Gleichungen
20=4*5 und 12=4*3
Diese "Restfaktoren" sind jeweils das Produkt aus Primfaktoren, wobei kein Primfaktor in beiden "Restfaktoren" gleichzeitig vorkommen darf (ansonsten würde er ja in den ggT einfließen).
So, und nun müsste man abschließend zeigen, dass es stets eine natürliche Zahl [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] gibt, so dass gilt:
[mm] \alpha [/mm] * [mm] R_{1} [/mm] - [mm] \beta [/mm] * [mm] R_{2} [/mm] = 1
[mm] (R_{1} [/mm] und [mm] R_{2} [/mm] sind die Restfaktoren)
Wie gesagt: Ich weiß nicht, ob so etwas als "Beweis" zählt, aber zumindest ist es ein Ansatz
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> Beweisen Sie das Lemma von Bézout: Es gibt [mm]\alpha, \beta \in \IZ[/mm]
> mit ggT(a,b) = [mm]\alpha*a[/mm] + [mm]\beta*b.[/mm]
> Ich würde dieses Lemma gerne mit Hilfe des euklidischen
> Algorithmus beweisen. Der Algorithmus ist mir bekannt, ich
> weiss aber nicht genau, wie ich für den Beweis vorgehen
> soll...!
> Wie kann ich da am besten beginnen?
Hallo,
Du kannst ja mal ![[]](/images/popup.gif) hier spitzeln.
Gruß v. Angela
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