Lemma von Borel-Cantelli < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Aurote |
| Aufgabe | Es geht um das Lemma von Borel-Cantelli.
[mm] A_n [/mm] sei eine Folge von Ereignissen.
A := lim sup [mm] A_n
[/mm]
Es soll gezeigt werden, dass die Konvergenz der Reihe der P [mm] (A_n) [/mm] nicht notwendig für P (A) = 0 ist: Finden Sie [mm] A_n [/mm] mit [mm] P(A_n) [/mm] = ∞ und A = ∅. |
Hallo zusammen,
Habe mich nun schon ein ein kleines Weilchen mit der Aufgabe beschäftigt, aber bis jetzt konnte ich leider kein solches Beispiel entdecken.
Ich bin deshalb für jeden Tipp dankbar. Besonders Frage ich mich, was für eine Ergebnismenge [mm] \Omega [/mm] man am besten wählt. Ich vermute fast, dass man am besten ein unendliches kartesisches Produkt [mm] \Omega_\infty [/mm] verwendet, wobei alle [mm] \Omega [/mm] unabhängig sind.
Die Ereignisse [mm] A_n [/mm] welche man dann definiert dürften natürlich nicht unabhängig sein.
Schöne Grüße,
Aurote
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du machst es Dir zu schwer. Du brauchst eine Folge, wo zwischen Folgengliedern und Grenzwert ein qualitativer Unterschied in Sachen Mächtigkeit besteht, und wählst P dann wie gewünscht (soll P nicht ein Wmaß sein? Frag nur, wegen [mm] $P(A_n)=\infty$)
[/mm]
Bsp:
[mm] $A_n:=\left[-\frac 1n,\frac 1n\right]$
[/mm]
Dann hat jedes [mm] $A_n$ [/mm] überabzählbar viele Elemente, $A$ aber nur ein einziges. Das muß P dann entsprechend würdigen:
[mm] $P(A):=\begin{cases} 1& \text{falls }A\text{ überabzählbar}\\ 0 &\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
In Deinem Fall soll der Grenzwert [mm] $\emptyset$ [/mm] sein, alles andere bleibt gleich.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Aurote |
Hallo Stefan,
Vielen Dank für Deine hilfreiche Antwort.
Konnte die Aufgabe nun lösen. 
Viele Grüße,
Aurote
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