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Forum "Uni-Analysis" - Lemma von Fatou
Lemma von Fatou < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lemma von Fatou: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Do 10.11.2005
Autor: VHN

hallo an alle!

wir haben neulich in der vorlesung das lemma von fatou durchgenommen.

lemma von fatou:
es sei [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] ene folge in [mm] \overline{\cal{M}}_{+} (\Omega, \cal{A}). [/mm] dann gilt:
[mm] \integral_{}^{} {\limes_{n\rightarrow\infty} inf f_{n} d\mu} \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] \integral_{}^{} {f_{n} d\mu} [/mm]

dann hat der Prof zu dem lemma ein beispiel gegeben, dass ich überhaupt nicht verstehe.

Bsp.: (hier: [mm] 1_{]n,n+1]} [/mm] ist die indikatorfunktion)
sei [mm] \lambda [/mm] das lebesguemaß auf [mm] \IR. [/mm] dann gilt:
[mm] \integral_{}^{} {\limes_{n\rightarrow\infty} inf 1_{]n,n+1]} d\lambda} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} [/mm] 0 [mm] d\lambda \le [/mm] 1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] \integral_{}^{} {1_{]n,n+1]} d\lambda} [/mm]

meine frage: warum ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] 1_{]n,n+1]} [/mm]  = 0 und [mm] 1_{]n,n+1]} [/mm] =1 ?

wenn ich ein x [mm] \in \IR [/mm] wähle, und dann einsetze:
[mm] \integral_{}^{} {\limes_{n\rightarrow\infty} inf 1_{]n,n+1]} (x) d\lambda}, [/mm]
dann ist doch [mm] 1_{]n,n+1]} [/mm] (x) = 1, wenn x [mm] \in [/mm] ]n,n+1], und
[mm] 1_{]n,n+1]} [/mm] (x) = 0, wenn x [mm] \not\in [/mm] ]n,n+1].
nach der gleichung von oben liegt aber x anscheinend nie in ]n,n+1], da der ganze term immer 0 ist. warum ist das so?

ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. danke!!

VHN




        
Bezug
Lemma von Fatou: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Do 10.11.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Betrachte mal für festes $x [mm] \in \IR$ [/mm] die Folge

[mm] $(1_{]n,n+1]}(x))_{n \in \IN}$. [/mm]

Diese ist offenbar gleich $0$ für alle $n+1>x$.

Daher gilt:

[mm] $\liminf_{n \to \infty} 1_{]n,n+1]}(x)=0$, [/mm]

und zwar für alle $x [mm] \in\IR$. [/mm]

Im ersten Fall integrieren wir also die konstante Nullfunktion!!

Und rechts gilt:

[mm] $\int\limits_{\IR} 1_{]n,n+1]}\, d\lambda [/mm] = (n+1)-n=1$,

und damit auch

[mm] $\liminf\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\IR} 1_{]n,n+1]}\, d\lambda [/mm] = 1$.

Liebe Grüße
Stefan

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