Lemma von Fatou < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 10.02.2009 | | Autor: | Blech |
Vergessen wir mal den ganzen Teil mit der Maßtheorie, und schauen uns die Beispiele an, warum punktweise Konvergenz für die Vertauschung von Limes und Integral nicht ausreicht. Die gelten (fast alle) hier immer noch, oder?
(gleichmäßige Konvergenz wird btw. vom Satz von der majorisierten Konvergenz dann abgedeckt)
ciao
Stefan
EDIT: Es wird ja gerade vorausgesetzt, daß die ganzen Bedingungen, unter denen man beim Lebesgue-Integral Limes und Integral vertauschen darf, nicht gelten.
Die Beispiele beim Riemann-Integral, die ich kenne, führen zu verschiedenen Ergebnissen für Grenzwert der Integrale und Integral des Grenzwerts und lassen sich direkt auf das Lebesgue-Integral übertragen.
Wenn Gonozal_IX eins hat, das nur punktweise Konvergenz zeigt, das mit Lebesgue funktioniert und mit Riemann nicht, und das obwohl es die üblichen Sätze für das Lebesgue-Integral verletzt, dann wäre ich schwer beeindruckt, weil ich schon immer ein Faible für obskure Gegenbeispiele zu "offensichtlichen" Aussagen hatte.
Und wenn wir schon beim Haarspalten sind, sollte ich wohl auch noch anmerken, daß die Aussage in der Klammer sich immer noch auf das Riemann-Integral bezieht. Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge allein, reicht natürlich noch nicht aus.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:48 Di 10.02.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
>Die gelten hier immer noch, oder?
Nein, für das Lesbeque-Integral reicht punktweise Konvergenz.
MfG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Di 10.02.2009 | | Autor: | SEcki |
> Anders formuliert: Lässt sich allein aus der Konvergenz
> einer Folge messbarer Funktionen [mm](f_n)[/mm] die Konvergenz ihrer
> Integrale folgern? Wahrscheinlich nicht, aber ich habe auch
> kein Gegenbeispiel gefunden. (Ich habe bei Wikipedia
> deutsch und englisch geguckt und in Rudin's Analysis).
>
> Kennt jemand ein Gegenbeispiel?
Das zweite Gegenbeispiel im deutschen Wiki ist was du suchst.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Di 10.02.2009 | | Autor: | Scholli |
Danke für deine Antwort!
Aber die Intagrale konvergieren doch, nur gegen Null statt Eins. Ich frage mich, ob es ein Gegenbeispiel derart gibt, dass die Integrale einer konvergierenden Funktionenfolge nicht konvergieren.
Oder, falls die Integrale einer konvergierenden Funktionenfolge immer konvergieren, eine Aussage über ihren Grenzwert möglich ist, z.B. [mm]\integral_{S}\limes_{n\rightarrow\infty} f_n d\mu \le \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{S} f_n d\mu [/mm], wie es in dem von dir genannten Beispiel gilt.
Ich tippe ja eher drauf, dass es ein Gegenbeispiel gibt wie ich es suche.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 10.02.2009 | | Autor: | Blech |
[mm] $f_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n}} 1_{[0,n]}(x) \to [/mm] 0$
[mm] $\int f_n\ d\lambda [/mm] = [mm] \sqrt{n} \to \infty$ [/mm]
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Di 10.02.2009 | | Autor: | Scholli |
Cool, vielen Dank, auch für deine andere Antwort! Bei den Riemann-Integralen hatte ich auch kein Gegnbeispiel gefunden, aber das hier liegt ja eigentlich recht nahe.. :)
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Lemma von Fatou