Lemma von Fatou < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Di 14.12.2010 | | Autor: | Konni_86 |
| Aufgabe | Für jede Folge [mm] (f_n)_{n{\in}{\mathds{N}}}$ [/mm] in E* [mm] ($\Omega$, $\mathscr{A}$), [/mm] also von [mm] $\mathscr{A}$ [/mm] - messbaren numerischen Funktion [mm] f_n $\ge$ [/mm] 0 [mm] gilt.\\
[/mm]
[mm] $\int\liminf{f_n}$ d$\mu$ $\le$ $\liminf\int{f_n}$ d$\mu$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll das Lemma jetzt Beweisen, was ich auch soweit gemacht habe doch einen Schritt verstehe ich nicht.
(Aso E* bezeichne die Menge aller numerischen Funktionen f [mm] \ge\ [/mm] 0 auf [mm] $\Omega$, [/mm] zu welchen eine isotone Folge [mm] (u_n) [/mm] von Elementarfunktionen existiert.)
Beweis:
1) Ich setze [mm] g_n [/mm] := [mm] $\displaystyle\inf_{m\ge\n}f_m
[/mm]
- [mm] g_n [/mm] sei messbar weil [mm] (g_n)_{n{\in}{\mathds{N}}}$ [/mm] eine Folge von [mm] $\mathscr{A}$ [/mm] - messbaren numerischen Funktionen auf [mm] $\Omega$ [/mm] ist.
2) Es gilt:
[mm] $\sup\ g_n [/mm] = [mm] $\liminf\ f_n
[/mm]
Daraus Folgt:
[mm] $\sup [/mm] inf\ [mm] f_m [/mm] = [mm] $\liminf\ f_m
[/mm]
- Unter Beachtung das [mm] g_n \le\ f_n [/mm] folgt:
a) [mm] $\int\liminf{f_n}$ d$\mu$ [/mm] = [mm] $\int\sup{g_n}$ d$\mu$
[/mm]
b) = [mm] $\sup\int{g_n}$ d$\mu$
[/mm]
c) = [mm] \lim\int{g_n}$ d$\mu$
[/mm]
d) [mm] \le\\liminf\int{f_m}$ d$\mu$ [/mm] = [mm] \liminf\int{f_n}$ d$\mu$
[/mm]
Schritt a) folgt ja aus der Voraussetzung 2) !?
Zu b) komme i wegen dem Satz der monotonen konvergenz!?
Zu c) komme i doch wenn der Grenzwert existiert dann ist der lim = liminf =limsup oder?!
Aber zu Schritt d) ist mir jetzt ein Rätzel. Kann mir da jemand irgenwie weiter helfen?
Vielen Dank
Konni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für jede Folge [mm](f_n)_{n{\in}{\mathds{N}}}$[/mm] in E*
> [mm]($\Omega$, $\mathscr{A}$),[/mm] also von [mm]$\mathscr{A}$[/mm] -
> messbaren numerischen Funktion [mm]f_n $\ge$[/mm] 0 [mm]gilt.\\[/mm]
>
> [mm]\int\liminf{f_n}[/mm] d[mm]\mu[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]\liminf\int{f_n}[/mm] d[mm]\mu[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich soll das Lemma jetzt Beweisen, was ich auch soweit
> gemacht habe doch einen Schritt verstehe ich nicht.
>
> (Aso E* bezeichne die Menge aller numerischen Funktionen f
> [mm]\ge\[/mm] 0 auf [mm]\Omega[/mm], zu welchen eine isotone Folge [mm](u_n)[/mm] von
> Elementarfunktionen existiert.)
>
> Beweis:
>
> 1) Ich setze [mm]g_n[/mm] := [mm]$\displaystyle\inf_{m\ge\n}f_m[/mm]
[mm]g_n := \ inf_{m \ge n}f_m[/mm]
>
> - [mm]g_n[/mm] sei messbar weil [mm](g_n)_{n{\in}{\mathds{N}}}$[/mm] eine
> Folge von [mm]$\mathscr{A}$[/mm] - messbaren numerischen Funktionen
> auf [mm]$\Omega$[/mm] ist.
>
> 2) Es gilt:
>
> [mm]\sup\ g_n = [/mm][mm] \liminf\ f_n[/mm]
>
> Daraus Folgt:
>
> [mm]\sup inf\ f_m = [/mm][mm] \liminf\ f_m[/mm]
>
> - Unter Beachtung das [mm]g_n \le\ f_n[/mm] folgt:
>
> a) [mm]\int\liminf{f_n}[/mm] d[mm]\mu[/mm] = [mm]\int\sup{g_n}[/mm] d[mm]\mu[/mm]
>
> b) = [mm]\sup\int{g_n}[/mm] d[mm]\mu[/mm]
>
> c) = [mm]\lim\int{g_n}$ d$\mu$[/mm]
>
> d) [mm]\le\\liminf\int{f_m}[/mm] [mm]d[/mm][mm] \mu[/mm] [mm]= \liminf\int{f_n}[/mm]
> d[mm]\mu[/mm]
>
> Schritt a) folgt ja aus der Voraussetzung 2) !?
Es folgt, weil $ [mm] \sup\ g_n [/mm] = $$ [mm] \liminf\ f_n [/mm] $
> Zu b) komme i wegen dem Satz der monotonen konvergenz!?
Richtig.
> Zu c) komme i doch wenn der Grenzwert existiert dann ist
> der lim = liminf =limsup oder?!
Es ist doch [mm] g_n \le g_{n+1}, [/mm] also auch [mm] \int{g_n}d\mu \le \int{g_{n+1}}d\mu [/mm]
Damit ist die Folge ( [mm] \int{g_n}d\mu [/mm] ) wachsend, folglich ist lim [mm] \int{g_n}d\mu [/mm] = sup [mm] \int{g_n}d\mu [/mm]
>
> Aber zu Schritt d) ist mir jetzt ein Rätzel.
Meinst Du Rätsel, Bretzel oder Brätzel ?
> Kann mir da
> jemand irgenwie weiter helfen?
Es ist [mm] \int{g_n}d\mu \le [/mm] inf { [mm] \int{f_m}d\mu [/mm] : m [mm] \ge [/mm] n } nach Def. von [mm] g_n [/mm] !!
Also ist sup [mm] \int{g_n}d\mu \le sup_{m \ge n} [/mm] {inf { [mm] \int{f_m}d\mu [/mm] : m [mm] \ge [/mm] n } } = = [mm] \liminf\int{f_n}
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank
> Konni
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