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Hallo,
also ich habe Fragen zur Anwendbarkeit der Lie-Integration, nämlich:
1. Kann man beliebige Differentialgleichungen in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung umwandeln?
2. Kann man gesuchte Werte (z.B. x(t) ) und deren Ableitungen in getrennte gewöhnliche Differentialgleichungen setzen (oder wie ich das verstehe:: als voneinander unabhängige Größen betrachten) ?
3. Sind alle Darstellungen, die man durch substituieren, integrieren, differenzieren etc. der ursprünglichen Gleichung erhält allesamt verwendbar?
4. Falls ich hier grundlegendes Unverständnis gezeigt habe, kann mir jemand das Verfahren anhand eines Beispieles erklären?
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Hallo,
ich habe mir jetzt ein beliebiges Beispiel ausgedacht:
[mm] f'(x)f''(x)-f(x)^3=2
[/mm]
Also, erst einmal nehme ich an, die obigen Behauptungen seien alle wahr.
Daher würde ich so vorgehen:
[mm] f(x_0)=a, f'(x_0)=b, f''(x_0)=c
[/mm]
[mm] \bruch{dr}{dt}=f(x)=\wurzel[3]{f'(x)f''(X)-2}
[/mm]
[mm] \bruch{df(x)}{dt}=f'(x)=\bruch{2+f(x)^3}{f''(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{df'(x)}{dt}=f''(x)=\bruch{2+f(x)^3}{f'(x)}
[/mm]
Daraus würde für den Lie-Operator folgen:
[mm] D=\wurzel[3]{bc-2}\bruch{\partial}{\partial a}+\bruch{2+a^3}{c}\bruch{\partial}{\partial b}+\bruch{2+a^3}{b}\bruch{\partial}{\partial c}
[/mm]
Nun würde die Berechnung nach der formalen Taylorentwicklung von L(z,t)= [mm] e^{tD}f(z) [/mm] erfolgen.
[mm] L_{1}(a,t)=\wurzel[3]{bc-2}
[/mm]
[mm] L_{2}(a,t)=\wurzel[3]{bc-2}+t\bruch{2+a^3}{3\wurzel[3]{(bc-2)^2}}+t\bruch{2+a^3}{3\wurzel[3]{(bc-2)^2}}
[/mm]
[mm] L_{3}(a,t)=\wurzel[3]{bc-2}+2t\bruch{2+a^3}{3\wurzel[3]{(bc-2)^2}}+t^2(\bruch{a^2}{\wurzel[3]{(bc-2)}}-\bruch{4}{9}\bruch{(2+a^3)^2}{\wurzel[3]{(bc-2)^5}})
[/mm]
Diese Reihe sollte dann eigentlich gegen f(x) mit f(0)=a konvergieren, oder?
Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 22.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 20.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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