matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenLiegt Vektor in Bildmenge?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Abbildungen" - Liegt Vektor in Bildmenge?
Liegt Vektor in Bildmenge? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Liegt Vektor in Bildmenge?: Bildmenge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 So 12.12.2010
Autor: bandchef

Aufgabe
Es seien [mm] [latex]\vec{A} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & -2\\ 3 & 7 & 6 & -5 \end{pmatrix}[/latex] [/mm] und [mm] [latex]\vec{b} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] [/latex]. Es soll nun die lin. Abbildung [mm] [latex]\vec{x} \mapsto A\vec{x}[/latex] [/mm] mit untersucht werden.

Frage: Untersuchen Sie, ob der Vektor [mm] $\vec{b}$ [/mm] in der Bildmenge liegt.


Meine Rechnung:

[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ [/mm] $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow$ [/mm]

[mm] $x_1+3x_2+4x_3-3x_4=1$ [/mm]
[mm] $-2x_2-6x_3+4x_4=4$ [/mm]
$0=1 [mm] \Rightarrow \text{Widerspruch!!!} \Rightarrow \vec{b} \text{ ist nicht in Bildmenge!}$ [/mm]


Könnt ihr mir draufhelfen, ob ich da soweit richtig gerechnet habe?

        
Bezug
Liegt Vektor in Bildmenge?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 So 12.12.2010
Autor: MathePower

Hallo bandchef,

> Es seien [mm][latex]\vec{A}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & -2\\ 3 & 7 & 6 & -5 \end{pmatrix}[/latex][/mm]
> und [mm][latex]\vec{b}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm]
> [/latex]. Es soll nun die lin. Abbildung [mm][latex]\vec{x} \mapsto A\vec{x}[/latex][/mm]
> mit untersucht werden.
>  
> Frage: Untersuchen Sie, ob der Vektor [mm]\vec{b}[/mm] in der
> Bildmenge liegt.
>  Meine Rechnung:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow[/mm]


Bei der letzten Zeile steht nach der Elimination:

[mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]

Wird die 3. Zeile durch 2 dividiert, so steht Dein Ergebnis da.


>  
> [mm]x_1+3x_2+4x_3-3x_4=1[/mm]
>  [mm]-2x_2-6x_3+4x_4=4[/mm]
>  [mm]0=1 \Rightarrow \text{Widerspruch!!!} \Rightarrow \vec{b} \text{ ist nicht in Bildmenge!}[/mm]
>  
>
> Könnt ihr mir draufhelfen, ob ich da soweit richtig
> gerechnet habe?


Alles richtig. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Liegt Vektor in Bildmenge?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 So 12.12.2010
Autor: bandchef

Wie kommst du auf:

$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $


Im vorletzten Schritt hab ich dastehen:

$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 1 & 3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] $

Wenn ich da nun die "neue" 3. Zeile mit [mm] $III=III-\frac{1}{2}II$ [/mm] berechne, dann komm ich auf $ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/mm] $ $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow [/mm] $

Ich weiß nicht recht wo ich da falsch gerechnet haben soll... Kannst du es mir sagen?

Bezug
                        
Bezug
Liegt Vektor in Bildmenge?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 So 12.12.2010
Autor: MathePower

Hallo bandchef,

> Wie kommst du auf:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
>
> Im vorletzten Schritt hab ich dastehen:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 1 & 3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]


Ok, soweit bin ich mit Dir einig.


>  
> Wenn ich da nun die "neue" 3. Zeile mit
> [mm]III=III-\frac{1}{2}II[/mm] berechne, dann komm ich auf


Damit eliminierst Du nicht die "1" in der 3. Zeile.

Die Operation muss so lauten: [mm]III=III+\frac{1}{2}II[/mm]


> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow[/mm]


Damit stimmt Dein Ergebnis.

Mein Ergebnis stimmt aber auch,
ich hab nur anders gerechnet: [mm]III=2*III+II[/mm]


>  
> Ich weiß nicht recht wo ich da falsch gerechnet haben
> soll... Kannst du es mir sagen?


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Liegt Vektor in Bildmenge?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 So 12.12.2010
Autor: bandchef

Du hast Recht, die Operation muss so lauten: $ [mm] III=III+\frac{1}{2}II [/mm] $. Das Minus in meiner ersten Antwort ist nur dummerweise reingekommen. Auf meiner Rechnung auf meinem Blatt steht da schon auch ein +. Wie aber kann es sein, dass ich mit der Operation $ [mm] III=III+\frac{1}{2}II [/mm] $ auf 1 in der Ergebnisspalte komme und du mit deiner Operation $III=2*III+II $ auf eine 2 in der Ergebnisspalte kommst? Das Zeil ist doch immer das Gleiche nämlich Spalten zu eliminieren. Wie man das mit welcher Operation macht ist doch eigentlich egal, oder? Genauso wenig kann es doch dann jetzt sein, dass es bei ein und der selben Aufgabe zwei unterschiedliche Ergebnisse (auch wenn das Ergebnis ein Widerspruch ist!) rauskommen...

Kannst du mir sagen wieso?

Bezug
                                        
Bezug
Liegt Vektor in Bildmenge?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 So 12.12.2010
Autor: MathePower

Hallo bandchef,

> Du hast Recht, die Operation muss so lauten:
> [mm]III=III+\frac{1}{2}II [/mm]. Das Minus in meiner ersten Antwort
> ist nur dummerweise reingekommen. Auf meiner Rechnung auf
> meinem Blatt steht da schon auch ein +. Wie aber kann es
> sein, dass ich mit der Operation [mm]III=III+\frac{1}{2}II[/mm] auf
> 1 in der Ergebnisspalte komme und du mit deiner Operation
> [mm]III=2*III+II[/mm] auf eine 2 in der Ergebnisspalte kommst? Das
> Zeil ist doch immer das Gleiche nämlich Spalten zu
> eliminieren. Wie man das mit welcher Operation macht ist
> doch eigentlich egal, oder? Genauso wenig kann es doch dann


Sicher ist das egal.


> jetzt sein, dass es bei ein und der selben Aufgabe zwei
> unterschiedliche Ergebnisse (auch wenn das Ergebnis ein
> Widerspruch ist!) rauskommen...
>  
> Kannst du mir sagen wieso?


Nun, meine Operation unterscheidet sich von Deiner in folgender Weise:

[mm]2*III+1*II=2*\left(III+\bruch {1}{2}*II\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]