matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesLiegt Vektor in U?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Liegt Vektor in U?
Liegt Vektor in U? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Liegt Vektor in U?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Di 12.03.2013
Autor: koa24

Aufgabe
Gegeben ist ein Teilraum [mm] U=LH\{\overrightarrow{a}_{1}, \overrightarrow{a}_{2}, \overrightarrow{a}_{3}\} [/mm] mit

[mm] \overrightarrow{a}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} \overrightarrow{a}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -2} \overrightarrow{a}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ -1} [/mm]

a) Bestimmen Sie die Dimension von U; (bzw. Basis?)
b) Befindet sich [mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} [/mm] in U?

[mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 6} [/mm]

Da das letztens hier wunderbar funktioniert hat
und meine Frage in paar Nanosekunden geklärt war
kommt hier meine ZWEITE!! ^^...

Bei der obigen Aufgabe hängt bei mir das Verständnis ein wenig~

Lösungsansatz:

a) Durch Gauß

A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & -9 } [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] dim U = Rang(A) = 3

Basis ist gleich der dim von U ?? ( Was zeigt/sagt mit die Basis bzw. wozu brauch ich Sie? )

b)

[mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} \in [/mm] U , da die Vektoren linear unabhängig sind und den maximalen Raum aufspannen.
[mm] \gdw [/mm] Also [mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} [/mm] ist 100% eine linear Kombination (bzw. abhängig von) aus den Vektoren? Right?

So wenn das alles stimmt kommt jetzt die eigentliche Frage:

Es ist mir ein anderes Trio gegeben:

[mm] \overrightarrow{a}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 8} \overrightarrow{a}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ -7} \overrightarrow{a}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -3 \\ 21} [/mm]

a)

Durch Gauß weiß ich: dim U = Rang(A) = 2

b)

Durch a) weiß ich nun das man zeigen muss das [mm] \overrightarrow{a}_{Teddy} \in [/mm] U liegt oder auch nicht. OK

Mein Versuch (Ist er Richtig bzw. geht das eleganter + schneller + universeller?):

Gauß:

[mm] \pmat{ 1 & 4 \\ -2 & 5 \\ 8 & -7 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 4 \\ 6 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 13 \\ 0 & -39 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 10 \\ -18 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 13 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 10 \\ 12 } [/mm]


[mm] 13\*k_{2} [/mm] = 10
[mm] \gdw k_{2} [/mm] = [mm] \bruch{10}{13} [/mm]

usw. [mm] k_{1} [/mm] = 23

[mm] k_{1} [/mm] und [mm] k_{2} [/mm] in [mm] 0\*k_{1}+0\*k_{2} [/mm] = 12
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] 12 [mm] \Rightarrow \overrightarrow{a}_{Teddy} \not\in [/mm] U.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Liegt Vektor in U?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Di 12.03.2013
Autor: helicopter

Hallo,

> Gegeben ist ein Teilraum [mm]U=LH\{\overrightarrow{a}_{1}, \overrightarrow{a}_{2}, \overrightarrow{a}_{3}\}[/mm]
> mit
>  
> [mm]\overrightarrow{a}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2} \overrightarrow{a}_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2} \overrightarrow{a}_{3}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ -1}[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie die Dimension von U; (bzw. Basis?)
>  b) Befindet sich [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy}[/mm] in U?
>  
> [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 6}[/mm]
>  Da das
> letztens hier wunderbar funktioniert hat
> und meine Frage in paar Nanosekunden geklärt war
>  kommt hier meine ZWEITE!! ^^...
>  
> Bei der obigen Aufgabe hängt bei mir das Verständnis ein
> wenig~
>  
> Lösungsansatz:
>  
> a) Durch Gauß
>  
> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & -9 }[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim U = Rang(A) = 3
>  
> Basis ist gleich der dim von U ?? ( Was zeigt/sagt mit die
> Basis bzw. wozu brauch ich Sie? )

Ja die Länge der Basis entspricht der Dimension des Vektorraums.


> b)
>
> [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy} \in[/mm] U , da die Vektoren linear
> unabhängig sind und den maximalen Raum aufspannen.
>   [mm]\gdw[/mm] Also [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy}[/mm] ist 100% eine linear
> Kombination (bzw. abhängig von) aus den Vektoren? Right?

Ja Richtig.

> So wenn das alles stimmt kommt jetzt die eigentliche
> Frage:
>  
> Es ist mir ein anderes Trio gegeben:
>  
> [mm]\overrightarrow{a}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 8} \overrightarrow{a}_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ -7} \overrightarrow{a}_{3}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ -3 \\ 21}[/mm]
>  
> a)
>  
> Durch Gauß weiß ich: dim U = Rang(A) = 2
>  
> b)
>  
> Durch a) weiß ich nun das man zeigen muss das
> [mm]\overrightarrow{a}_{Teddy} \in[/mm] U liegt oder auch nicht. OK
>  
> Mein Versuch (Ist er Richtig bzw. geht das eleganter +
> schneller + universeller?):
>  
> Gauß:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 4 \\ -2 & 5 \\ 8 & -7 }[/mm] = [mm]\pmat{ 3 \\ 4 \\ 6 }[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 13 \\ 0 & -39 }[/mm] = [mm]\pmat{ 3 \\ 10 \\ -18 }[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 13 \\ 0 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 3 \\ 10 \\ 12 }[/mm]
>  
>
> [mm]13\*k_{2}[/mm] = 10
>  [mm]\gdw k_{2}[/mm] = [mm]\bruch{10}{13}[/mm]
>  
> usw. [mm]k_{1}[/mm] = 23
>  
> [mm]k_{1}[/mm] und [mm]k_{2}[/mm] in [mm]0\*k_{1}+0\*k_{2}[/mm] = 12
>  [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\not=[/mm] 12 [mm]\Rightarrow \overrightarrow{a}_{Teddy} \not\in[/mm]
> U.

Ja das ist richtig. Du könntest die lineare Abhängigkeit auch prüfen indem du den Vektor [mm] \vec{a_{Teddy}} [/mm] mit den 2 Basisvektoren deines Vektorraums in eine Matrix schreibst und dann in Zeilenstufenform bringst,
aber das lohnt sich meiner Meinung nach nur bei mehreren Vektoren die zu prüfen sind.


>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß helicopter


Bezug
                
Bezug
Liegt Vektor in U?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Di 12.03.2013
Autor: koa24

ok, perfekt danke.

Also zur Optimierung einfach die n Basisvektoren nehmen,
wenn man z.B. 1 Millionen Vektoren hat, die zu prüfen sind.


Ich empfand die Lösung irgendwie zu einfach...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]