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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert für x [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] \limes_{s\rightarrow0} (1+sx)^{1/s} [/mm] |
Kann mir jemand nen Ansatz geben, wie ich da rangehe?
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ok, also der Grenzwert müsste [mm] e^x [/mm] sein, wenn man sich den graphen anschaut...aber wie komm ich darauf?
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Hallo Albtalrobin,
> Bestimmen Sie den Grenzwert für x [mm]\in \IR:[/mm]
>
> [mm]\limes_{s\rightarrow0} (1+sx)^{1/s}[/mm]
> Kann mir jemand nen
> Ansatz geben, wie ich da rangehe?
Schreibe [mm] $(1+sx)^{\frac{1}{s}}$ [/mm] mit Hilfe der Definition der allg. Potenz um:
[mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Also [mm] $(1+sx)^{\frac{1}{s}}=e^{\frac{1}{s}\cdot{}\ln(1+sx)}$
[/mm]
Dann nimm dir den Exponenten [mm] $\frac{\ln(1+sx)}{s}$ [/mm] heraus
Der strebt für [mm] $s\to [/mm] 0$ gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{\ln(1)}{0}=\frac{0}{0}$
[/mm]
Also kannst du mit de l'Hôpital zubeißen und dann am Ende das Ergebnis noch [mm] $e^{(..)}$ [/mm] nehmen ..
LG
schachuzipus
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Ok, stimmt, danke!
Jetzt hab ich noch Teilaufgabe b):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}
[/mm]
der ist ja auch [mm] e^{x}....
[/mm]
Ich hab jetzt wie folgt argumentiert:
Setze [mm] n=:\bruch{1}{s}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm] = [mm] \limes_{\bruch{1}{s}\rightarrow\infty} (1+sx)^{\bruch{1}{s}} [/mm] = [mm] \limes_{s\rightarrow0} (1+sx)^{\bruch{1}{s}} [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
Ist das so ein sauberer Beweis? Oder sollte ich den Limes vieleicht doch lieber nochmal genau wie in a) ausrechnen?
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Hallo nochmal,
> Ok, stimmt, danke!
> Jetzt hab ich noch Teilaufgabe b):
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}[/mm]
> der ist
> ja auch [mm]e^{x}....[/mm]
> Ich hab jetzt wie folgt argumentiert:
> Setze [mm]n=:\bruch{1}{s}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}[/mm]
> = [mm]\limes_{\bruch{1}{s}\rightarrow\infty} (1+sx)^{\bruch{1}{s}}[/mm]
> = [mm]\limes_{s\rightarrow0} (1+sx)^{\bruch{1}{s}}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> Ist das so ein sauberer Beweis? Oder sollte ich den Limes
> vieleicht doch lieber nochmal genau wie in a) ausrechnen?
Nö, das sieht doch gut aus, und bereits Gezeigtes - also das Ergenis aus (a) - kannst und sollst du natürlich verwenden
LG
schachuzipus
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