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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Sa 15.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Seien [mm] n \in \IN, a \in \IR, f:\IR \setminus \{a\} \rightarrow \IR [/mm] durch [mm] f(x):=\bruch{x^n-a^n}{x-a} [/mm] gegeben.
Dann ist [mm] \limes_{x\rightarrow a}=na^{n-1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo, wer kann mir bitte erklären, wie man auf diesen Grenzwert kommt ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Sa 15.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Seien [mm]n \in \IN, a \in \IR, f:\IR \setminus \{a\} \rightarrow \IR[/mm]
> durch [mm]f(x):=\bruch{x^n-a^n}{x-a}[/mm] gegeben.
> Dann ist [mm]\limes_{x\rightarrow a}=na^{n-1}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo, wer kann mir bitte erklären, wie man auf diesen
> Grenzwert kommt ?
>
> Danke, Susanne.
Hallo,
es ist [mm]\bruch{x^n-a^n}{x-a}=x^{n-1}+x^{n-2}*a+x^{n-3}*a^2+x^{n-4}*a^3+ ... +x^1*a^{n-2}+a^{n-1}[/mm]
Das sind also n Summanden, die für [mm] x\rightarrow [/mm] a alle den Wert [mm] a^{n-1} [/mm] annehmen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Sa 15.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Abakus,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!
> [mm]\bruch{x^n-a^n}{x-a}=x^{n-1}+x^{n-2}*a+x^{n-3}*a^2+x^{n-4}*a^3+ ... +x^1*a^{n-2}+a^{n-1}[/mm]
> Das sind also n Summanden, die für [mm]x\rightarrow[/mm] a alle den
> Wert [mm]a^{n-1}[/mm] annehmen.
Dass aus den n Summanden für [mm]x\rightarrow[/mm] a alle den
Wert [mm]a^{n-1}[/mm] annehmen habe ich jetzt verstanden.
Aber wie kommst Du auf diese Summanden ?
[mm] (x^n-a^n)(x-a)^{-1} [/mm] irgendwie so (ich fürchte, ich komme mit den Potenzen nicht klar) ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Sa 15.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
> vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!
>
> >
> [mm]\bruch{x^n-a^n}{x-a}=x^{n-1}+x^{n-2}*a+x^{n-3}*a^2+x^{n-4}*a^3+ ... +x^1*a^{n-2}+a^{n-1}[/mm]
> > Das sind also n Summanden, die für [mm]x\rightarrow[/mm] a alle den
> > Wert [mm]a^{n-1}[/mm] annehmen.
> Dass aus den n Summanden für [mm]x\rightarrow[/mm] a alle den
> Wert [mm]a^{n-1}[/mm] annehmen habe ich jetzt verstanden.
> Aber wie kommst Du auf diese Summanden ?
> [mm](x^n-a^n)(x-a)^{-1}[/mm] irgendwie so (ich fürchte, ich komme
> mit den Potenzen nicht klar) ?
>
> Danke, Susanne.
Hallo,
führe die Polynomdivision [mm] (x^n-a^n):(x-a) [/mm] aus.
Wenn du damit Probleme hast, dann mache es umgedreht (Probe durch Multiplikation an meinem Ergebnis).
Es muss
[mm] (x^{n-1}+x^{n-2}*a+x^{n-3}*a^2+x^{n-4}*a^3+ [/mm] ... [mm] +x^1*a^{n-2}+a^{n-1})(x-a)=x^n-a^n [/mm] ergeben.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Sa 15.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Ah, VIELEN DANK !!
LG, Susanne.
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