Limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:45 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe 1 | Berechnen der Limes in [mm] \IR
[/mm]
a) [mm] \limes_{x\rightarrow a}_{x \not= a} \bruch{x^n - a^n}{x^m - a^m} [/mm] für a [mm] \not= [/mm] 0 |
| Aufgabe 2 | | b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{cx} - \wurzel{1+x} }{tan x} [/mm] mit c [mm] \in \IR [/mm] |
| Aufgabe 3 | | c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} (\bruch{1}{x}+log [/mm] x) |
Hallo zusammen,
wieder einmal paar problemchen mit limesberechnungen :-(
zu a)
ich denke, da müsste man drei Fallunterscheidungen machen, für n<m, n>m und n = m.
für n<m
[mm] \limes_{x\rightarrow a}_{x \not= a} \bruch{x^n - a^n}{x^m - a^m} [/mm] = [mm] \infty [/mm]
für n>m
[mm] \limes_{x\rightarrow a}_{x \not= a} \bruch{x^n - a^n}{x^m - a^m}
[/mm]
müsste ich da nicht eine polynomdivision machen? oder stimmt das nicht?
für n=m
[mm] \limes_{x\rightarrow a}_{x \not= a} \bruch{x^n - a^n}{x^m - a^m} [/mm] = 1
stimmen da meine ansätze?
Zu b)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{cx} - \wurzel{1+x} }{tan x}
[/mm]
da habe ich versucht, für den tan (x) = [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm] einzusetzen und dann die Reihen von sin(x) und cos(x) zu benutzen (und natürlich die exponentialreihe, aber ich komme so nicht weiter:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(1+cx+\bruch{(cx)^2}{2!}+\bruch{(cx)^3}{3!}+....-\wurzel{1+x})(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}+....)}{x - \bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+....}
[/mm]
ist das der falsche weg?
zu c)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} (\bruch{1}{x}+log [/mm] x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} [/mm] log x
also dann wäre der erste limes = [mm] \infty, [/mm] aber was ist der limes von log x???
Vielen Dank
P.s habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Giorda!
> verstehe nicht ganz wieso dass ich keine fallunterscheidung
> machen muss?!?
>
> weil sonst heisst es ja
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{x^n - a^n}{x^m - a^m}[/mm] = [mm]\limes_{a \rightarrow a}\bruch{a^n - a^n}{a^m - a^m}[/mm] = 1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist ein unbestimmter Ausdruck der Form [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] , der nicht zwangsläufig 1 ergibt!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
ja und jetzt?
sorry ich komme nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Rat durch Zähle und Nenner durch x-a zu teilen ist der einzig gute.
Das wurde auch in dem link von loddar 2 posts früher gezeigt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
[mm] \bruch{x^n - a^n}{x^m - a^m} [/mm] = [mm] \bruch{(x-a) \summe_{k=0}^{n-1} x^k a^{n-1-k}}{(x-a) \summe_{l=0}^{n-1} x^l a^{m-1-l}}
[/mm]
[mm] \limes_{x \rightarrow a} \bruch{\summe_{k=0}^{n-1} a^{n-1}}{\summe_{l=0}^{n-1} a^{m-1}} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n-1}}{a^{m-1}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\bruch{x^n - a^n}{x^m - a^m}[/mm] = [mm]\bruch{(x-a) \summe_{k=0}^{n-1} x^k a^{n-1-k}}{(x-a) \summe_{l=0}^{n-1} x^l a^{m-1-l}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow a} \bruch{\summe_{k=0}^{n-1} a^{n-1}}{\summe_{l=0}^{n-1} a^{m-1}}[/mm]
bis hierhin ist es richtig das nächste ist falsch schreib mal die Summe ein Stück weit auf!
> = [mm]\bruch{a^{n-1}}{a^{m-1}}[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
mal die Summe ein Stück weit auf!
ah das ist ja
[mm] \underbrace{a^{n-1} + a^{n-1}+.....+a^{n-1}}_{(n-1)mal} [/mm] = [mm] \bruch{a^{(n-1)^2}}{a^{(m-1)^2}}
[/mm]
> Gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Giorda!
Diese Aufgabe schreit ja förmlich nach  de l'Hospital ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
leider leider hatten wir den l'hospital noch nicht....
...kann man das nicht anderst machen???
hatte schon mal eine ähnliche aufgabe gepostet und dann hat man mich auch auf den l'hospital verwiesen, aber man muss doch diese aufgaben auch anderst lösen können, nicht? v.a. weil wir das noch gar nicht behandelt haben :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo [mm] Giorda_N!
[/mm]
Dann solltest Du lieber gleich die ![[]](/images/popup.gif) Reihenentwicklung für tan(x) verwenden.
Und natürlich auch die Reihenentwicklung für [mm] $\wurzel{1+x}$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> Hallo [mm]Giorda_N![/mm]
>
>
> Dann solltest Du lieber gleich die
> Reihenentwicklung für tan(x)
> verwenden.
hab mir die reihenentwicklung von tan(x) angeschaut, was ist dann diese bernoullizahl? diese kenne ich auch nicht, wie kann ich mit dieser rechnen?
>
> Und natürlich auch die Reihenentwicklung für [mm]\wurzel{1+x}[/mm]
diese reihenentwicklung finde ich auch niergends in meinen notizen oder büchern :-(
sorry
> ...
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Giorda!
> hab mir die reihenentwicklung von tan(x) angeschaut, was
> ist dann diese bernoullizahl? diese kenne ich auch nicht,
> wie kann ich mit dieser rechnen?
Brauchst Du doch gar nicht ... in der Zeile darüber steht eine Schreibart ohne diese Bernoullizahlen.
> > Und natürlich auch die Reihenentwicklung für [mm]\wurzel{1+x}[/mm]
> diese reihenentwicklung finde ich auch niergends in meinen
> notizen oder büchern :-(
> sorry
Dann musst Du diese halt selber entwickeln ... oder Du schätzt wie folgt ab:
[mm] $$(1+x)^n [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1+n*x \ \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ \ x \ << \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo [mm] Giorda_N!
[/mm]
Heißt es wirklich [mm] $\bruch{1}{x} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \log(x)$ [/mm] , oder nicht doch eher [mm] $\bruch{1}{x} [/mm] \ [mm] \red{\times} [/mm] \ [mm] \log(x)$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
habe es nochmals mit meinem blatt verglichen es heisst leider
[mm] (\bruch{1}{x} [/mm] + log (x))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
bilde die Exponentialfkt davon. zeige, dass die gegen unendlich geht, dann auch der ursprüngliche Ausdruck.
oder statt x gegen 0 1/x gegen unendlich.
Gruss leduart.
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
