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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
Nach endlosem Grübeln und herumprobieren dutzender Grenzwertaufgaben, bin ich an genau diesen dreien hier gescheitert...
an= [mm] \bruch{2}{n^2}*cos(2n)
[/mm]
Hier wird als Hinweis angegeben, dass man diese Folge zwischen zwei Nullfolgen "einquetschen" soll und durch die Grundeigenschaften konvergenter Folgen den Grenzwert berechnen kann.
dh: [mm] bn\le [/mm] an [mm] \le [/mm] cn
Ich hätte daraufhin versucht zu beweisen, dass
1/n [mm] \le \bruch{2}{n^2}*cos(2n) \le [/mm] 3/(3n+4)
da ich bei der rechten und linken Folge weiß, dass es sich um Nullfolgen handelt müsste ich so nun beweisen können, dass auch [mm] \bruch{2}{n^2}*cos(2n) [/mm] eine Nullfolge ist.
Die zweite Folge ist:
[mm] (\bruch{n+2}{n-1})^n
[/mm]
wobei ich mir gedacht habe, dass ich diese iwie auf die Form [mm] (1+z/n)^n [/mm] umbauen kann, da ich dann weiß, dass [mm] e^z [/mm] der Grenzwert ist...
Die dritte Folge ist:
an= [mm] 2n*(\wurzel{n}-\wurzel{n-1})
[/mm]
Ich weiß es ist wirklich viel, aber ich habs wirklich laang versucht und ich brauch (hoffe ich) jeweils nur einen kleinen Schubs in die richtige Richtung...
Danke ;)
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Hallo Zeitlos!
Bedenke, dass gilt: $-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \cos(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Zeitlos!
> Die dritte Folge ist: an= [mm]2n*(\wurzel{n}-\wurzel{n-1})[/mm]
Erweitere diesen Term mit [mm] $\left( \ \wurzel{n} \ \red{+} \ \wurzel{n-1} \ \right)$ [/mm] .
Anschließend zusammenfassen und im Nenner [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] ausklammern.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
Das war auch das Muster wie die anderen Aufgaben funktioniert haben aber in diesem Fall werd ich nicht schlau draus....
Ich komme auf [mm] \bruch{2n}{\wurzel{n}*(1+\wurzel{1/n-1}}
[/mm]
was einem Grenzwert von [mm] \bruch{\infty}{\infty*1+negativer Wurzel} [/mm] entspricht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mo 18.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das war auch das Muster wie die anderen Aufgaben
> funktioniert haben aber in diesem Fall werd ich nicht
> schlau draus....
>
> Ich komme auf [mm]\bruch{2n}{\wurzel{n}*(1+\wurzel{1/n-1}}[/mm]
Komisch, wie hast Du das gemacht ? Ich komm auf
[mm]\bruch{2n}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}}[/mm]
Tipp (für die Frage nach Konvergenz/Divergenz) : zeige: [mm]\bruch{2n}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}} \ge \wurzel{n}[/mm]
FRED
>
> was einem Grenzwert von [mm]\bruch{\infty}{\infty*1+negativer Wurzel}[/mm]
> entspricht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
uiui. der Kopf raucht... da funktioniert manchmal das Rechnen schon gar nicht mehr...
warum soll ich zeigen, dass für den Ausdruck gilt: $ [mm] \bruch{2n}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}} \ge \wurzel{n} [/mm] $
diesen Zusammenhang sehe ich nicht.
Das gilt aber nur in diesem Beispiel odeR ?
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Hallo Zeitlos!
Die Folge [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] \wurzel{n}$ [/mm] ist divergent und wächst über alle Grenzen (also unbeschränkt).
Was bedeutet das für eine Folge, die gliedweise größer ist.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Zeitlos,
> Die zweite Folge ist:
> [mm](\bruch{n+2}{n-1})^n[/mm]
> wobei ich mir gedacht habe, dass ich diese iwie auf die
> Form [mm](1+z/n)^n[/mm] umbauen kann, da ich dann weiß, dass [mm]e^z[/mm]
> der Grenzwert ist...
Sehr gute Idee. Das ist doch dann aber nur noch eine Aufgabe der Bruchrechnung, etwa siebte Klasse. Das kannst Du doch locker allein.
Interessanter ist vielleicht, dass Du die Form [mm] (1+\bruch{z}{n})^{n\red{+1}} [/mm] bekommst. Da ist allerdings auch [mm] e^z [/mm] der Grenzwert. Vielleicht solltest Du aber Deine Mühe in der Tat darauf verwenden, genau das zu zeigen.
Grüße
reverend
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In eine ähnliche Richtung wie reverend, geht die Idee, dass sich bei gegebener Folge [mm] a_n [/mm] mal die Folgenglieder [mm] a_{n+1} [/mm] anzugucken. Denn es gilt praktischerweise
[mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} a_{n+1}
[/mm]
d.h. für beliebige aber feste [mm] $k\in \IZ$ [/mm] kann man sich auch immer den "verschobenen" Folgenverlauf [mm] a_{n+k} [/mm] betrachten und so möglicherweise einige unliebsame Konstanten "verschwinden" lassen 
MFG,
Gono.
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