Limes, Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} [/mm] * [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k =\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}
[/mm]
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe. |
Hat wer einen Tipp für mich, weil ich hab nicht wirklich einen Ansatz bei den zwei SUmmen,
Vielen dank,
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}[/mm] * [mm]\sum_{k=0}^\infty x^k =\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}[/mm]
>
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe.
> Hat wer einen Tipp für mich, weil ich hab nicht wirklich
> einen Ansatz bei den zwei SUmmen,
die linke Reihe ist nichts anderes als die Reihendarstellung von [mm] $\exp(x)\,,$ [/mm] die stets absolut konvergiert. Die zweite Reihe links des Gleichheitszeichens: Geometrische Reihe! Für welche [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert die denn? (Für welche divergiert sie?)
Die Gleichheit: Probier's mal mit dem Cauchyprodukt.
Spaßeshalber kann man dann auch mal rechterhand gucken, für welche [mm] $x\,$ [/mm] denn die Reihe rechterhand konvergiert!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}[/mm] * [mm]\sum_{k=0}^\infty x^k =\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}[/mm]
> die linke Reihe ist nichts anderes als die
> Reihendarstellung von [mm]\exp(x)\,,[/mm] die stets absolut
> konvergiert.
Ja
>Die zweite Reihe links des Gleichheitszeichens: Geometrische Reihe! Für welche [mm]x\,[/mm]
> konvergiert die denn? (Für welche divergiert sie?)
für |x| < 1 konvergiert sie, sonst divergiert sie.
> Die Gleichheit: Probier's mal mit dem Cauchyprodukt.
D.h das Cauchyprodukt der beiden produkte konvergiert ebenfalls für |x| < 1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> > > [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}[/mm] * [mm]\sum_{k=0}^\infty x^k =\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}[/mm]
>
> > die linke Reihe ist nichts anderes als die
> > Reihendarstellung von [mm]\exp(x)\,,[/mm] die stets absolut
> > konvergiert.
> Ja
> >Die zweite Reihe links des Gleichheitszeichens:
> Geometrische Reihe! Für welche [mm]x\,[/mm]
> > konvergiert die denn? (Für welche divergiert sie?)
> für |x| < 1 konvergiert sie, sonst divergiert sie.
> > Die Gleichheit: Probier's mal mit dem Cauchyprodukt.
> D.h das Cauchyprodukt der beiden produkte konvergiert
> ebenfalls für |x| < 1 ?
das kann man ja auch nochmal separat mit einem passenden Konvergenzkriterium nachgucken. Für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] sollte das sicher konvergieren - vielleicht aber auch für andere?
Du lernst die Kriterien ja nicht spaßeshalber, sondern auch, damit Du sie ggf. mal anwenden kannst, um selbst über die Sachen nachzudenken.
P.S.
Die Rechnung zum Cauchyprodukt hast Du auch nirgends hingeschrieben. So schnell hättest Du das auch vermutlich nicht können. Daher: Rechne erstmal nach, dass diese Gleichheit auch wirklich gilt!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Das die Gleichheit gilt, habe ich schon vorher nachgerechnet.
[mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} [/mm] * [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k \frac{x^n}{n!} [/mm] * [mm] x^{k-n} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}
[/mm]
Die Exponentialreihe konvergiert für alle x.
Die Geometrische Reihe konvergiert für die |x| < 1
Was sagen mir nun die Konvergenzen der einzelnen Faktoren über die Konvergenz des Cauchyproduktes???
[mm] \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!} [/mm]
ist das egal wenn zwei summenzeichen sind?
Quotientenkriterim
[mm] |\frac{\frac{x^{k+1}}{n!}}{\frac{x^k}{n!}} [/mm] |= [mm] |\frac{x^{k+1} n!}{n! x^k }| [/mm] = |x| --> k -> [mm] \infty [/mm] ,.|x| < 1 konvergent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:52 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das die Gleichheit gilt, habe ich schon vorher
> nachgerechnet.
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}[/mm] * [mm]\sum_{k=0}^\infty x^k[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k \frac{x^n}{n!}[/mm] * [mm]x^{k-n}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}[/mm]
>
> Die Exponentialreihe konvergiert für alle x.
> Die Geometrische Reihe konvergiert für die |x| < 1
> Was sagen mir nun die Konvergenzen der einzelnen Faktoren
> über die Konvergenz des Cauchyproduktes???
was weißt Du denn über das Cauchyprodukt? "Wenn einer der beiden absolut und die andere auch nur bedingt konvergiert, dann..."?
(Siehe ![[]](/images/popup.gif) Satz von Mertens.)
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}[/mm]
> ist das egal wenn zwei summenzeichen sind?
Wenn man's richtig hinschreibt, sieht man, was man machen kann - und dann siehst Du auch, dass die eine Summe einfach nur "Koeffizienten einer unendlichen Reihe (hier sogar besser: Funktionenreihe)" beschreibt:
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}=\sum_{k=0}^\infty \underbrace{\left(\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}\right)}_{=:a_k}x^k$$
[/mm]
> Quotientenkriterim
> [mm]|\frac{\frac{x^{k+1}}{n!}}{\frac{x^k}{n!}}[/mm] |=
> [mm]|\frac{x^{k+1} n!}{n! x^k }|[/mm] = |x| --> k -> [mm]\infty[/mm] ,.|x| <
> 1 konvergent
Demnach passt Deine Rechnung dann auch nicht mehr.
P.S.
Ich habe nicht gesagt, dass die Konvergenzuntersuchung der Reihe rechterhand einfach ist. Aber alleine mit dem Satz von Mertens/Cauchyprodukt ist eigentlich klar, dass die Reihe rechterhand sicher auf $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] schonmal konvergent sein muss! Also: Der Konvergenzradius dieser Reihe ist sicher [mm] $\ge 1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo
> Aber alleine mit dem Satz
> von Mertens/Cauchyprodukt ist eigentlich klar, dass die
> Reihe rechterhand sicher auf [mm]|x| < 1\,[/mm] schonmal konvergent
> sein muss!
Ja, da in dem Konvergenzradius beide der Reihen konvergieren, also auch da Cauchyprodukt.
Aber es ist noch offen, ob das Produkt noch bei weiteren x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert.
> Also: Der Konvergenzradius dieser Reihe ist
> sicher [mm]\ge 1\,.[/mm]
Wieso wissen wir, dass es so sein MUSS?
[mm] \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}=\sum_{k=0}^\infty x^{k} [/mm] * [mm] (1+1+1/2+1/6...+\frac{1}{k!})
[/mm]
Verwendest du hier Quotientenkriterium, Wurzelkriterium...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> > Aber alleine mit dem Satz
> > von Mertens/Cauchyprodukt ist eigentlich klar, dass die
> > Reihe rechterhand sicher auf [mm]|x| < 1\,[/mm] schonmal konvergent
> > sein muss!
> Ja, da in dem Konvergenzradius beide der Reihen
> konvergieren, also auch da Cauchyprodukt.
> Aber es ist noch offen, ob das Produkt noch bei weiteren x
> [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
>
>
> > Also: Der Konvergenzradius dieser Reihe ist
> > sicher [mm]\ge 1\,.[/mm]
> Wieso wissen wir, dass es so sein MUSS?
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{x^{k}}{n!}=\sum_{k=0}^\infty x^{k}[/mm]
> * [mm](1+1+1/2+1/6...+\frac{1}{k!})[/mm]
> Verwendest du hier Quotientenkriterium,
> Wurzelkriterium...?
Dass der konvergenzradius mindestens 1 ist, folgt aus der Tatsache, dass das Cauchyprodukt für |x|<1 konv.
Schau Dir mal die Reihenglieder für x=1 an. Kann das Cauchyprodukt für x=1 konv. ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Für x=1
sieht die Summe so aus: [mm] \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}
[/mm]
Quotientenkriterium
[mm] \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}
[/mm]
n-> [mm] \infty [/mm] konvergiert gegen 0
also konvergent.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für x=1
> sieht die Summe so aus: [mm]\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}[/mm]
>
> Quotientenkriterium
> [mm]\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm]
> n-> [mm]\infty[/mm] konvergiert gegen 0
> also konvergent.
Nein ! Für x=1 sieht die Reihe so aus:
[mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] mit [mm] a_k=\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}
[/mm]
Ist [mm] (a_k) [/mm] eine Nullfolge ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> > Für x=1
> > sieht die Summe so aus: [mm]\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}[/mm]
>
> >
> > Quotientenkriterium
> > [mm]\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm]
> > n-> [mm]\infty[/mm] konvergiert gegen 0
> > also konvergent.
>
>
> Nein ! Für x=1 sieht die Reihe so aus:
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k[/mm] mit [mm]a_k=\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}[/mm]
Aber genau das hab ich doch oben hingeschrieben.
> Ist [mm](a_k)[/mm] eine Nullfolge ?
Da die ersten Fakoren [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_1=2 [/mm] sind kann es nicht gegen 0 konvergieren bei nur pos. gliedern
Also konvergiert [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k[/mm] nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Für x=1
> > > sieht die Summe so aus: [mm]\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Quotientenkriterium
> > > [mm]\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{n+1}[/mm]
> > > n-> [mm]\infty[/mm] konvergiert gegen 0
> > > also konvergent.
> >
> >
> > Nein ! Für x=1 sieht die Reihe so aus:
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k[/mm] mit [mm]a_k=\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}[/mm]
> Aber genau das hab ich doch oben hingeschrieben.
Aber dann hast Du falsch weitergemacht !
> > Ist [mm](a_k)[/mm] eine Nullfolge ?
> Da die ersten Fakoren [mm]a_0=1[/mm] und [mm]a_1=2[/mm] sind kann es nicht
> gegen 0 konvergieren bei nur pos. gliedern
Gegen wes konvergiert denn [mm] (a_k) [/mm] ?
>
> Also konvergiert [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k[/mm] nicht.
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> Gegen wes konvergiert denn $ [mm] (a_k) [/mm] $ ?
$ [mm] a_k=\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!} [/mm] $
konvergiert gegen e
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Gegen wes konvergiert denn [mm](a_k)[/mm] ?
>
> [mm]a_k=\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}[/mm]
> konvergiert gegen e
Ja
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:57 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Für x=1
$ [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] $ mit $ [mm] a_k=\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!} [/mm] $
$ [mm] (a_k) [/mm] $ konvergiert gegen e
also ist die Reihe [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] nicht konvergent
d.h. für x=1 ist unsere Reihe divergent.
Jetzt sind noch die Fälle
x> 1
und x [mm] \le [/mm] -1
ausständig.
Hast du da noch einen Tipp für mich?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 09.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Das Cauchyprodukt sieht so aus:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_kx^k [/mm] mit [mm] a_k=\summe_{n=0}^{k}\bruch{1}{n!}
[/mm]
Benutze das Quotientenkriterium.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Quotientenkriterium
$ [mm] \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] $
[mm] \frac{1/n}{1+1/n} [/mm] ->n-> [mm] \infty [/mm] 0 < 1
-> konvergiert absolut
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Quotientenkriterium
> [mm]\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm]
> [mm]\frac{1/n}{1+1/n}[/mm] ->n-> [mm]\infty[/mm] 0 < 1
> -> konvergiert absolut
Wieder falsch ! Lasse das QK auf [mm] a_k [/mm] los !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Ja aber was verändere ich denn dann?
die variable k gibt es ja gar nicht in der Reihe [mm] a_k [/mm] ?
[mm] |a_{k+1}/a_k|
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja aber was verändere ich denn dann?
> die variable k gibt es ja gar nicht in der Reihe [mm]a_k[/mm] ?
> [mm]|a_{k+1}/a_k|[/mm]
Den GW von [mm] (a_k) [/mm] kennst Du doch ! Gegen was konv. dann [mm] (a_{k+1}) [/mm] ?
Gegen was konv. somit [mm](|a_{k+1}/a_k|)[/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
beides konvergiert gegen e.
Also ihr Quotient konvergiert gegen 1
Also kann ich mit dem Quotientenkriterium nichts aussagen und bin so klug wie zuvor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> beides konvergiert gegen e.
> Also ihr Quotient konvergiert gegen 1
Damit ist der Konvergenzradius =1
FRED
> Also kann ich mit dem Quotientenkriterium nichts aussagen
> und bin so klug wie zuvor?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:00 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich versuch das nochmal als Lösungsweg hinzuschreiben
Quotientenkriterium:
[mm] \frac{a_{k+1} x^{k+1}}{x^k a_k} [/mm] -> k -> [mm] \infty
[/mm]
[mm] \frac{e*x}{e} [/mm] = x
Konvergiert für |x| <1
divergiert für |x| > 1
divergiert für x=1 und x=-1
Für x=1
$ [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] $ mit $ [mm] a_k=\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!} [/mm] $
$ [mm] (a_k) [/mm] $ konvergiert gegen e
also ist die Reihe $ [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] $ nicht konvergent
Passt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 09.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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