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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Do 28.02.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Wie ist der Limes Superior definiert? |
Also die Definition kenne ich, aber ich habe sie nicht verstanden. Betrachte ich da meine Funktion und schaue wohin das Supremum konvergiert? Bei der harmonischen Reihe wäre dass dann zum Beispiel 0, richtig?
Der limsup und der liminf existieren immer im Gegensatz zum limes richtig? Also wenn sie nicht [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] sind.
Und gilt lim=limsup, wenn der Limes existiert?
Oder gilt lim=liminf wenn der Limes existiert, oder beides, oder habe ich da was falsch verstanden?
Warum ist das so?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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Hi,
> Wie ist der Limes Superior definiert?
> Also die Definition kenne ich, aber ich habe sie nicht
> verstanden. Betrachte ich da meine Funktion und schaue
> wohin das Supremum konvergiert? Bei der harmonischen Reihe
> wäre dass dann zum Beispiel 0, richtig?
das kann man tatsaechlich so sagen, ja. man laesst die folge bei immer groesser werdenden indizes beginnen und schaut dann, wohin infimum und supremum konvergieren.
>
> Der limsup und der liminf existieren immer im Gegensatz zum
> limes richtig? Also wenn sie nicht [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm]
> sind.
>
> Und gilt lim=limsup, wenn der Limes existiert?
> Oder gilt lim=liminf wenn der Limes existiert, oder
> beides, oder habe ich da was falsch verstanden?
eine weitere, sehr nuetzliche definition ist diejenige ueber haeufungspunkte. demnach sind lim inf und lim sup der kleinste bzw. groesste HP der folge. so beantwortet sich deine frage sehr leicht: konvergierende folgen haben nur einen HP, demnach sind lim inf und lim sup gleich dem grenzwert.
gruss
matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Do 28.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
um obige Antwort ein wenig zu untermauern:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Interessant sind für Dich:
Definition 5.18, Satz 5.20 und Satz 5.21
Um für Dich selbst die Aussage, dass der [mm] $\liminf$ [/mm] der kleinste Häufungspunkt einer nach unten beschränkten Folge ist, zu beweisen (falls das noch unbekannt ist), kannst Du Satz 5.23 benutzen oder es auch direkt per Definitionem von [mm] $\liminf$ [/mm] machen.
Interessant ist übrigens, dass man Satz 5.21 verwenden kann, um die Vollständigkeit von [mm] $(\IK, d_{|.|})$ [/mm] zu beweisen (mit [mm] $\IK \in \{\IR, \IC\}$), [/mm] siehe Beweis zu Satz 5.26
Gruß,
Marcel
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