Limes Superior und Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Sa 29.12.2007 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | s:[0, 1] --> [mm] \IR [/mm] stetig. Der Grenzwert s'+(t0) := lim sup[ (s(t0) - s(t)/ t0 - t ] existiert für t0 (0,1]. // Also t wird von links an t0 angenähert, hier gabs für den grenzwert keinen pfeil, der rechts nach oben zeigt.//
ZZ: ist s(0) = 0 und s'+(t0) <= 0 für alle t0 (0,1] , so ist s<=0.
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hallo leute =)
kurz vorweg: oben mit s'+ das soll heißen: s mit index + (von links nach rechts an t0 angenähert) und der strich halt für die ableitung.
also mit den 2 voraussetzungen s(0) = 0 und s'+(t0) <=0 für alle t0(0,1] hab ich schonmal folgenden schluss gezogen:
s ist monoton fallend da s'+ <=0
was mir probleme bereitet ist der superior. ich kann mit der oberen schranke von dem diff.quot. nichts anfangen. um zu zeigen, dass s kleiner gleich 0 ist hätte ich gesagt:
laut vorgabe s' <=0 ist lim sup [ (s(t0) - s(t)/ t0 - t ] <=0
t0 - t > 0 da t0 > t und dementsprechend muss s(t0)-s(t) < 0. da nach erkenntnis s monoton fällt und s(t0) < s(t) muss doch schon s kleiner gleich null sein oder?
ich kann leider mit dem superior nichts anfangen -.-
wär cool wenn mir jemand helfen könnte
gr
eumel
//ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und auch in keinem anderen Forum gefunden//
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Sa 29.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo eumel!
Es wäre gut, wenn du den Formeleditor nehmen würdest, dann könnte ich leichter erkennen, was du meinst.
> s:[0, 1] --> [mm]\IR[/mm] stetig. Der Grenzwert s'+(t0) := lim sup[
> (s(t0) - s(t)/ t0 - t ] existiert für t0 (0,1]. // Also t
> wird von links an t0 angenähert, hier gabs für den
> grenzwert keinen pfeil, der rechts nach oben zeigt.//
> ZZ: ist s(0) = 0 und s'+(t0) <= 0 für alle t0 (0,1] , so
> ist s<=0.
>
> hallo leute =)
> kurz vorweg: oben mit s'+ das soll heißen: s mit index +
> (von links nach rechts an t0 angenähert) und der strich
> halt für die ableitung.
>
> also mit den 2 voraussetzungen s(0) = 0 und s'+(t0) <=0 für
> alle t0(0,1] hab ich schonmal folgenden schluss gezogen:
> s ist monoton fallend da s'+ <=0
>
> was mir probleme bereitet ist der superior. ich kann mit
> der oberen schranke von dem diff.quot. nichts anfangen. um
> zu zeigen, dass s kleiner gleich 0 ist hätte ich gesagt:
>
> laut vorgabe s' <=0 ist lim sup [ (s(t0) - s(t)/ t0 - t ]
> <=0
> t0 - t > 0 da t0 > t und dementsprechend muss s(t0)-s(t) <
> 0. da nach erkenntnis s monoton fällt und s(t0) < s(t) muss
> doch schon s kleiner gleich null sein oder?
>
> ich kann leider mit dem superior nichts anfangen -.-
Guter Ansatz, nur musst du präziser argumentieren.
Wie habt ihr den Limes superior von Funktionen definiert?
Du könntest so argumentieren: der Limes superior ist der größte Häufungspunkt aller Folgen
[mm] \bruch{ s(t_0) - s(t_n)}{ t_0 - t_n} [/mm],
wobei [mm](t_n)_n[/mm] eine beliebige Folge ist, die von links gegen [mm]t_0[/mm] konvergiert.
Da dieser Häufungspunkt [mm]\le 0[/mm] ist, sind alle Häufungspunkte [mm]\le 0[/mm].
Damit kannst du argumentieren, dass in der Nähe von [mm]t_0[/mm] gilt: [mm]s(t_0)-s(t)\le 0[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Sa 29.12.2007 | | Autor: | eumel |
den limsup haben wir so definiert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup [/mm] An = [mm] inf_{n \in \IN} sup_{k\gen}a_{k} [/mm]
wobei An = { [mm] a_{k} [/mm] beschränkte folge : k >= n , n k [mm] \in \IN [/mm] }
als wir uns mit folgen beschäftigt haben, bei funktionen, ableitungen tauchte der noch nie auf bis jetzt ^^
wenn jetzt also die folgen [mm] (t_n) [/mm] gegen [mm] t_0 [/mm] konvergieren, so werden ja die werte des diff.quot., wie du ihn dort hingeschrieben hast, s'+ annähernd gleich sein, da nehm ich das supremum von allen und weiß, dass dieses sup < 0 sowie für alle anderen auch < 0 ist, da s(0)=0 und s mon. fällt. da also das sup <0 ist kann man schließen, dass für alle anderen häufungspunkte t'<t0 wegen stetigkeit und so weiter auch gilt f(t') < 0 ?
gr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Sa 29.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> den limsup haben wir so definiert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sup An = \inf_{n \in \IN} \sup_{k\ge n}a_{k}[/mm]
> wobei [mm]An = \{ a_{k}[/mm] beschränkte folge :[mm]k >= n , n k \in \IN\}[/mm]
>
> als wir uns mit folgen beschäftigt haben, bei funktionen,
> ableitungen tauchte der noch nie auf bis jetzt ^^
>
> wenn jetzt also die folgen [mm](t_n)[/mm] gegen [mm]t_0[/mm] konvergieren, so
> werden ja die werte des diff.quot., wie du ihn dort
> hingeschrieben hast, s'+ annähernd gleich sein,
Wieso? Hast du dir mal so eine Zickzacklinie aufgemalt? Dann siehst du nämlich, dass diese Werte keineswegs annähernd gleich sein müssen.
> da nehm
> ich das supremum von allen und weiß, dass dieses sup < 0
> sowie für alle anderen auch < 0 ist, da s(0)=0 und s mon.
> fällt.
Du musst beweisen, dass s monoton fällt. Warum ist das so?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:10 So 30.12.2007 | | Autor: | eumel |
das würde doch schon aus der annahme, die man macht: s' <=0 doch schon folgen, laut nem satz ist ja s mon fallend wenn s'<=0 ist oder nicht?! ansonsten müsste doch schon wie ich meinte
t0-t > 0 sein laut annahme und die bilder davon s(t0) - s(t) <= 0 <=> s(0) >= s(t) >= s(t0). oder wie sonst?!^^
good n8
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 So 30.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> das würde doch schon aus der annahme, die man macht: s' <=0
> doch schon folgen, laut nem satz ist ja s mon fallend wenn
> s'<=0 ist oder nicht?!
Aber diese Annahme darfst du nicht machen, da die Funktion s nicht diff'bar ist, nur stetig. Wenn [mm]s'[/mm] existiert, ist, wie du selbst festgestellt hast, die Aussage trivial.
Viele Grüße
Rainer
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