Limes Superior und inferior < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Di 17.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Limes Superior und Limes Inferior von
1. (|2+ [mm] \bruch{i^n}{n}|) ^\infty_{n=1}
[/mm]
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Hallo,
also hab noch nie den Limes Superior und den Limes Inferior berechnen müssen, deshalb weiß ich noch nicht wirklich wie das geht!!!
Also allgemein ist ja der Limes Superior von [mm] ({a_n} [/mm] ) [mm] ^\infty_{n=0} [/mm] ist definiert durch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (sup_{k \ge \infty} a_k)
[/mm]
Hab mir jetzt überlegt, dass ich von {|2+ [mm] \bruch{i^n}{n}|}^\infty_{n=1} [/mm] eine Teilfolge bilde und davon den Grenzwert bilde und daran quasi den Limes Superior oder Limes Inferior ablese!
Kann mir jetzt vllt jemand helfen?
Danke
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Hallo peeetaaa,
versuche erstmal die Folge ein bisschen umzuschreiben. Am besten i in Polarform aufschreiben. Bei [mm] i^n [/mm] Satz von Moivre benutzen und den Term in dem Betrag in reelen und komplexen Teil zerteilen. Dann Betrag anwenden und umschreiben. Schau dir dann den Ausdruck an, ob es vielleicht nicht einen Grenzwert hat.
Man kann auch beobachten wie die Folgenglieder aussehen, wenn n=4k,4k+1,4k+2 oder 4k+3 für k=0,1,2,... ist.
Und dann die Grenzwerte solcher Teilfolgen beobachten.
Freundliche Grüsse
Strangelet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Handelt es sich wirklich um die Folge
$(|2+ [mm] \bruch{i^n}{n}|) [/mm] $ ?
oder hast Du Dich verschrieben ? Der Hintergrund meiner Frage ist der: obige Folge ist konvergent :
Die Folge [mm] (\bruch{i^n}{n}) [/mm] konvergiert gegen 0, somit konvergiert [mm] (2+\bruch{i^n}{n}) [/mm] gegen 2, also ist
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}|2+ \bruch{i^n}{n}|=2$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Mi 18.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
Ja es handelt sich um diese Aufgabe!
Aber was heißt, dass denn jetzt für den Limes Superior oder Limes Inferior?
Heißt es, dass der Limes Superior die 2 ist und der Limes Inferior 1 weil da ja steht, dass es ab n=1 beginnt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Was ist den der lim sup (bzw. lim inf) einer beschränkten Folge ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Mi 18.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
naja der lim sup einer folge ist immer der größter Häufungspunkt einer Folge und lip sup halt der kleinste Häufungspunkt einer Folge.
Also würde das doch jetzt bedeuten, dass 2 der größte Häufungspunkt ist weil die ganze folge nach 2 konvergiert oder?
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Hiho,
> Also würde das doch jetzt bedeuten, dass 2 der größte
> Häufungspunkt ist weil die ganze folge nach 2 konvergiert
> oder?
jap. Wieviele Häufungspunkte hat eine konvergente Folge denn?
MFG,
Gono.
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Mach eine Fallunterscheidung für n= [mm] \begin{cases} 4k \\ 4k-1 \\ 4k-2 \\ 4k-3 \end{cases}. [/mm] Dann schau dir die einzelnen limites an und schon hast du deine lösung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Mach eine Fallunterscheidung für n= [mm]\begin{cases} 4k \\ 4k-1 \\ 4k-2 \\ 4k-3 \end{cases}.[/mm]
> Dann schau dir die einzelnen limites an und schon hast du
> deine lösung!
Was soll das ? Hast Du das
https://matheraum.de/read?i=617970
nicht gelesen ? Eine Fallunterscheidung ist völlig überflüssig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mi 18.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
Aber konvergiert [mm] (\bruch{i^n}{n}) [/mm] denn nicht nur für n=gerade gegen null und somit die folge gegen 2?
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Hallo Peter,
> Aber konvergiert [mm](\bruch{i^n}{n})[/mm] denn nicht nur für
> n=gerade gegen null und somit die folge gegen 2?
Nein, der Zähler in [mm] $\frac{i^n}{n}$ [/mm] ist doch betraglich durch 1 beschränkt, es ist [mm] $\left|i^n\right|=|i|^n=1^n=1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] $ \ \ n$ im Nenner wächst für [mm] $n\to\infty$ [/mm] über alle Grenzen, damit ist [mm] $\left(\frac{i^n}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] Nullfolge - s. Freds Antwort ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mi 18.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was soll den aus i/n werden ausser 0?
gruss leduart
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