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Forum "Folgen und Reihen" - Limes, Wurzel, Potenzen
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Limes, Wurzel, Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Fr 17.04.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Für alle [mm] \alpha \in [/mm] (0,2), berechne man:
a) [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1} [/mm]
b) [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})n^{-\alpha} [/mm]
c) [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha [/mm] /n

Hallo

a)
Für [mm] 0<1\le \alpha [/mm] gilt:
[mm] \frac{1}{n+1} \le \frac{n^\alpha}{n+1} \le \frac{n^1}{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+\frac{1}{n}} [/mm]
[mm] \rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1} [/mm] =0
Für 1 < [mm] \alpha [/mm] <2 denke ich wir haben Divergenz aber habe nicht geschafft meine Vermutung zu zeigen...

b) [mm] (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})n^{-\alpha}= \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{\alpha}} [/mm] = [mm] \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{n^{\alpha}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} [/mm] = [mm] \frac{n+1-n}{n^{\alpha}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}= \frac{1}{n^{\alpha}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} [/mm]
Nun ist [mm] 0<\frac{1}{n^{\alpha}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} [/mm] < [mm] \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm]
Daraus folgt [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})n^{-\alpha} [/mm] =0 für [mm] \alpha [/mm] >0

c) [mm] (1+2..+n)^\alpha [/mm] /n = [mm] \frac{(\sum_{k=1}^n k)^\alpha}{n}= \frac{\frac{(n^2+n)^{\alpha}}{2^\alpha}}{n}= \frac{(n^2+n)^\alpha}{2^\alpha n} [/mm]
Für [mm] \alpha=1 [/mm] divergiert die Folge: [mm] \frac{(n^2+n)^\alpha}{2^\alpha n}=\frac{n^2+n}{2 n}=\frac{1+1/n}{2/n}\rightarrow \infty (n\rightarrow \infty) [/mm] Aber wie mache ich das allgemein für [mm] \alpha \in [/mm] (0,2) ?

LG,
sissi

        
Bezug
Limes, Wurzel, Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Fr 17.04.2015
Autor: rmix22


> Für alle [mm]\alpha \in[/mm] (0,2), berechne man:
>  a) [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1}[/mm]

>  Für [mm]0<1\le \alpha[/mm] gilt:
>  [mm]\frac{1}{n+1} \le \frac{n^\alpha}{n+1} \le \frac{n^1}{n+1}[/mm]  = [mm]\frac{1}{1+\frac{1}{n}}[/mm]
>  [mm]\rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1}[/mm]=0

Warum folgt das? Du hast bis jetzt doch nur

$0 [mm] \le \lim_{n\rightarrow\infty} n^\alpha (n+1)^{-1} \le [/mm] 1$.

Für [mm] $0<\alpha<1$ [/mm] sollte [mm] $\frac {n^\alpha}{n+1}=\frac {\frac{1}{n^{1-\alpha}}}{1+\frac{1}{n}}$ [/mm] helfen.

[mm] $\alpha=1$ [/mm] muss auch berücksichtigt werden und sollte kein Problem darstellen.

Für [mm] $\alpha>1$ [/mm] sollte [mm] $\frac {n^\alpha}{n+1}=\frac {1}{\frac{1}{n^{\alpha-1}}+\frac{1}{n^\alpha}}$ [/mm] helfen.

Gruß RMix




Bezug
        
Bezug
Limes, Wurzel, Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Fr 17.04.2015
Autor: rmix22


> Für alle [mm]\alpha \in[/mm] (0,2), berechne man:

> c) [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha[/mm] /n
> c) [mm](1+2..+n)^\alpha[/mm] /n = [mm]\frac{(\sum_{k=1}^n k)^\alpha}{n}= \frac{\frac{(n^2+n)^{\alpha}}{2^\alpha}}{n}= \frac{(n^2+n)^\alpha}{2^\alpha n}[/mm]
>  
> Für [mm]\alpha=1[/mm] divergiert die Folge:
> [mm]\frac{(n^2+n)^\alpha}{2^\alpha n}=\frac{n^2+n}{2 n}=\frac{1+1/n}{2/n}\rightarrow \infty (n\rightarrow \infty)[/mm]
> Aber wie mache ich das allgemein für [mm]\alpha \in[/mm] (0,2) ?

[mm] $\frac{\left(n^2+n\right)^\alpha}{2^\alpha\cdot n}=\left( \frac{n^2+n}{2\cdot n^{\frac{1}{\alpha}}} \right)^{\alpha}$ [/mm]

Jetzt wieder Zähler und Nenner durch die höchste Potzenz von n dividieren.
Daher sind jetzt die drei Fälle [mm] $\alpha=\begin{cases} <\frac 1 2 \\ =\frac 1 2\\>\frac 1 2 \end{cases}$ [/mm] zu unterscheiden!

Gruß RMix


Bezug
                
Bezug
Limes, Wurzel, Potenzen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:48 Fr 17.04.2015
Autor: sissile

Danke für deine Antwort,
a) ist mir nun klar.

c)

> $ [mm] \frac{\left(n^2+n\right)^\alpha}{2^\alpha\cdot n}=\left( \frac{n^2+n}{2\cdot n^{\frac{1}{\alpha}}} \right)^{\alpha} [/mm] $
> Jetzt wieder Zähler und Nenner durch die höchste Potzenz von n dividieren.

Fall 1) [mm] \alpha= [/mm] 1/2
[mm] ..=(\frac{1-1/n}{2})^{\alpha} [/mm] und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-1/n}{2}= [/mm] 1/2
[mm] \rightarrow [/mm] $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha [/mm] $ /n [mm] =\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} [/mm]

Fall 2) [mm] \alpha [/mm] < 1/2 [mm] \iff \frac{1}{\alpha} [/mm] > 2
[mm] ..=(\frac{\frac{1}{n^{1/\alpha -2}}-\frac{1}{n^{1/\alpha -1}}}{2})^{\alpha} [/mm] und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{n^{1/\alpha -2}}-\frac{1}{n^{1/\alpha -1}}}{2} [/mm] =0
[mm] \rightarrow [/mm] $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha [/mm] $ /n =0

Fall 3) [mm] \alpha [/mm] > 1/2 [mm] \iff \frac{1}{\alpha} [/mm] < 2
[mm] ..=(\frac{1-\frac{1}{n}}{\frac{2}{n^{2-1/\alpha}}})^{\alpha} [/mm] und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{\frac{2}{n^{2-1/\alpha}}} [/mm] = [mm] \infty [/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] $ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (1+2..+n)^\alpha [/mm] $ /n =?
Hier bin ich etwas gehemmt, denn ich kann ja keine Potenz von unendlich bilden. Kann ich das eleganter machen?

Bezug
                        
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Limes, Wurzel, Potenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:48 Sa 18.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Hier bin ich etwas gehemmt, denn ich kann ja keine Potenz von unendlich bilden. Kann ich das eleganter machen?

du könntest die Stetigkeit der Potenzfunktion nutzen, aber das bringt dich hier nicht weiter.
Du solltest aber wissen, was die Summe [mm] $1+2+\ldots+n$ [/mm] ist. Der arme Herr Gauß würde sich sonst im Grabe umdrehen......

Gruß,
Gono

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Limes, Wurzel, Potenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Sa 18.04.2015
Autor: sissile

Hallo,
Siehe mal den ersten Beitrag von mir, da kam Gauß schon zum Einsatz.

LG,
sissi

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Limes, Wurzel, Potenzen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 So 19.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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