Limes berechnen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x * log [mm] \bruch{x-1}{x+1}. [/mm] |
Hallo,
log ist der natürliche Logarithmus.
Meine Frage hierzu ist, ob man den Limes sofort bestimmen kann, also, dass der Limes [mm] -\infty [/mm] ist, da der Logarithmus größer 0 und kleiner 1 eine negative Zahl ergibt. Oder muss man hier die Regel von L'Hospital anwenden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fabian!
Für den Gesamtgrenzwert wirst Du um Herrn de l'Hospital nicht rumkommen.
Denn es gilt: [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\left[x*\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)}{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{0}$ [/mm] .
Bevor Du aber im Zähler ableitest, würde ich zerlegen: [mm] $\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x-1)-\ln(x+1)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Ist das ein Fehler, wieso bei dir der Limes x -> [mm] -\infty [/mm] statts [mm] \infty [/mm] geht?
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ja das sollte ein fehler sein.
lg scherzkrapferl
EDIT: noch ein kleiner tipp von mir: setzte y=(1/x) und wende anschließend des herrn de l'hospitals geniale regel an ;)
wenn du dann bei -2 angelang bist weißt du ob du's geschafft hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Fabian!
> Ist das ein Fehler, wieso bei dir der Limes x -> [mm]-\infty[/mm]
> statts [mm]\infty[/mm] geht?
Ups, da habe ich mich verguckt. Nun sollte es oben stimmen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Hab jetzt [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{-1}* (\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1}).
[/mm]
Wenn man nun x einsetzt, dann ergibt das
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] 0 * 0, also [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x*log\bruch{x-1}{x+1}=0
[/mm]
Stimmt das so?
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> Hab jetzt [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^{-1}* (\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1}).[/mm]
>
> Wenn man nun x einsetzt, dann ergibt das
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] 0 * 0, also
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x*log\bruch{x-1}{x+1}=0[/mm]
> Stimmt das so?
nein .. siehe meine erste antwort das ergebnis sollte -2 sein !! wo ist dein logarithmus hin verschwunden ? wie kommst du auf diese umformung ? bitte rechenschritte angeben damit wir nachvollziehen können wo deine probleme liegen. noch dazu is lim(0*0) nicht berechenbar ... lies dir nochmal de l'hospital durch
lg
EDIT:
wenn du meinen ansatz verwendest musst du nur noch beachten dass der limes für y->0 rennt und nicht mehr gegen unendlich ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Ich weiß nicht, was du mit y meinst, da kommt keines drin vor.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{-1}\cdot{} (\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1})
[/mm]
sind die Ableitungen, deswegen ist der Logarithmus weg.
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ich würde dich bitte meine aller erste antwort zu lesen. wenn du zu faul bist dies zu tun erwarte in zukunft bitte keine antworten mehr.
in meiner mitteilung habe ich dir schon die lösung gegeben
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damit du mal auf einen grünen zweig kommst ein kleiner denkanstoß:
(die rechenschritte musst du aber selbst durchführen)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left[x\cdot{}\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)}{\bruch{1}{x}} [/mm]
so wenn wir jetzt [mm]y=\frac{1}{x}[/mm] setzten folgt
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)}{\bruch{1}{x}} = \limes_{\frac{1}{y}\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{\frac{1}{y}-1}{\frac{1}{y}+1}\right)}{y} = \limes_{y\rightarrow 0}\bruch{\ln\left(\bruch{\frac{1}{y}-1}{\frac{1}{y}+1}\right)}{y} [/mm]
das ganze entspricht wieder 0/0 also haben wir hier de l'hospital anzuwenden
[mm] ...=\limes_{y\rightarrow 0}{\bruch{2}{y^{2}-1} [/mm]
wenn du willst kannst du jetzt noch den 2er aus dem limes rausheben. anschließend y->0 rennen lassen und schon hast du -2 ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Okay, habs :D
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}\bruch{\ln\left(\bruch{\frac{1}{y}-1}{\frac{1}{y}+1}\right)}{y} [/mm]
Jetzt wende ich l'Hospital an:
Ableitung von y=1
Ableitung von [mm] log\bruch{\bruch{1}{y}-1}{\bruch{1}{y}+1}=\bruch{1}{\bruch{1}{y}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{y}+1}
[/mm]
Wenn ich nun davon den Limes berechne, also [mm] \limes_{y\rightarrow 0} 1*(\bruch{1}{\bruch{1}{y}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{y}+1})=-2
[/mm]
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> Okay, habs :D
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{\ln\left(\bruch{\frac{1}{y}-1}{\frac{1}{y}+1}\right)}{y}[/mm]
> Jetzt wende ich l'Hospital an:
> Ableitung von y=1
> Ableitung von
> [mm]log\bruch{\bruch{1}{y}-1}{\bruch{1}{y}+1}=\bruch{1}{\bruch{1}{y}-1}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{y}+1}[/mm]
DAS IST FALSCH !!! ![[tatue]](/images/smileys/tatue.gif "[tatue]") berechne die ableitung des log nochmals
> Wenn ich nun davon den Limes berechne, also
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0} 1*(\bruch{1}{\bruch{1}{y}-1}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{y}+1})=-2[/mm]
wenn du hier den limes berechnest wirst du probleme mit unendlichkeiten haben. keine ahnung wieso abakus das auf beantwortet gestellt hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Mh, ich habe keine Ahnung, wie davon die Ableitung geht, also hab ichs mal in nem Onlinerechner eingegeben und versucht nachzuvollziehen. Dabei kam
[mm] \bruch{-1}{(\bruch{1}{y}-1)*y^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{-1}{(\bruch{1}{y}+1)*y^{2}} [/mm] raus, aber für y -> 0 wird durch 0 dividiert
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woher hattest du dann deine vorige berechnung?
am einfachsten ist es wenn du log(a/b)=log(a)-log(b) verwendest und dann ableitest.
das ergebnis lautet [mm] $\frac{2}{y^{2}-1}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Hab die Ableitungen jetzt verstanden.
[mm] log(\bruch{1}{y}-1)-log(\bruch{1}{y}+1)=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{y}-1}*(\bruch{-1}{y^{2}})-\bruch{1}{\bruch{1}{y}+1}*\bruch{-1}{y^{2}}=
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{y-y^{2}}+\bruch{1}{y+y^{2}}=
[/mm]
[mm] -\bruch{1*(y+y^{2})}{(y-y^{2})*(y+y^{2})}+\bruch{1*(y-y^{2})}{(y+y^{2})*(y-y^{2})}=
[/mm]
[mm] -\bruch{y+y^{2}}{y^{2}+y^{3}-y^{3}-y^{4}}+\bruch{y-y^{2}}{y^{2}+y^{3}-y^{3}-y^{4}}=
[/mm]
[mm] -\bruch{2y^{2}}{y^{2}+y^{3}-y^{3}-y^{4}}=
[/mm]
[mm] -\bruch{2}{1+y^{1}-y^{1}-y^{2}}=
[/mm]
[mm] -\bruch{2}{1-y^{2}}
[/mm]
Und da y -> 0 ergibt das den Limes -2.
Danke
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hab's jetzt nur überflogen, aber sieht schon mal sehr gut aus [smilie3]
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Fr 15.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Fabian!
>
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> Für den Gesamtgrenzwert wirst Du um Hern de l'Hospital
> nicht rumkommen.
Wirlich?
Es ist [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left[x*\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty} \ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)^x =\ln\frac{1}{e^2}[/mm] .
Gruß Abakus
>
> Denn es gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left[x*\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)}{\bruch{1}{x}} \ = \ \bruch{0}{0}[/mm]
> .
>
>
> Bevor Du aber im Zähler ableitest, würde ich zerlegen:
> [mm]\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right) \ = \ \ln(x-1)-\ln(x+1)[/mm] .
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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> > Für den Gesamtgrenzwert wirst Du um Hern de l'Hospital
> > nicht rumkommen.
> Wirlich?
> Es ist
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left[x*\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty} \ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)^x =\ln\frac{1}{e^2}[/mm]
> .
> Gruß Abakus
haha das macht die sache ja noch viel viel einfacher ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
lg
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