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Hallo zusammen
Muss folgenden Grenzwert berechnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n}
[/mm]
Mein Lösungsversuch:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}}{2^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{n}} [/mm]
Dann könnte ich via Induktion zeigen, dass [mm] \bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n}=0
[/mm]
Gibt es auch einen andere (weniger aufwändige) Lösungsmöglichkeit?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 So 13.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen
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> Muss folgenden Grenzwert berechnen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n}[/mm]
>
> Mein Lösungsversuch:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}}{2^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{n}}[/mm]
Hallo,
da mit Ausnahme von n=0 die Zahl [mm] $n^2$ [/mm] immer größer oder gleich 1 ist, ist dieser Ansatz schon mal falsch.
Gruß Abakus
> Dann könnte ich via Induktion zeigen, dass
> [mm]\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n}=0[/mm]
>
> Gibt es auch einen andere (weniger aufwändige)
> Lösungsmöglichkeit?
>
> Liebe Grüsse
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Hallo Abakus
Ah ja, sorry! Hast du mir einen Tipp wie ich die Aufgabe angehen könnte?
Liebe Grüsse
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Hallo Babybel,
> Ah ja, sorry! Hast du mir einen Tipp wie ich die Aufgabe
> angehen könnte?
Die Idee mit der Induktion ist schon ok und schnell durchgeführt. Man darf nur nicht bei n=1 anfangen...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Mo 14.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Muss folgenden Grenzwert berechnen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n}[/mm]
>
> Mein Lösungsversuch:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}}{2^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{n}}[/mm]
Dass die Ungleichung [mm] \bruch{n^{2}}{2^{n}} \le \bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
falsch ist hat abakus Dir schon gesagt.
> Dann könnte ich via Induktion zeigen, dass
> [mm]\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n}[/mm]
Das kannst Du zeigen, aber was bringt Dir das ?
Aus [mm]\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n}[/mm] folgt dann
[mm]\bruch{n^2}{2^{n}} \le n[/mm] .
Das bringt Dich aber nicht weiter.
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{n}} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n}=0[/mm]
Nein, so funktioniert das nicht !
Überlege Dir: es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:
(*) [mm] \bruch{n^2}{2^{n}} \le \bruch{1}{n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] m.
Wenn Du solch ein m gefunden hast, kannst Du (*) mit Induktion beweisen.
>
> Gibt es auch einen andere (weniger aufwändige)
> Lösungsmöglichkeit?
Vielleicht so:
[mm] \wurzel[n]{ \bruch{n^2}{2^n}} \to [/mm] 1/2 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Ist nun 1/2 < q<1, so ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:
0 < [mm] \bruch{n^2}{2^n}
FRED
>
> Liebe Grüsse
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Hallo zusammen
Also ich bin jetzt so weit gekommen:
Ich möchte zeigen, dass [mm] \bruch{n^{2}}{2^{n}} \le \bruch{n^{2}}{n^{3}}=\bruch{1}{n}
[/mm]
Nun kann ich ja zeigen, dass [mm] \bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}}
[/mm]
Für n [mm] \ge [/mm] 10 gilt:
[mm] \bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}}
[/mm]
Beweis via Induktion:
n=10:
[mm] \bruch{1}{2^{10}}=\bruch{1}{1024} \le \bruch{1}{1000}=\bruch{1}{10^{3}}
[/mm]
Ind.ann.:
Es gilt für [mm] \bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}}
[/mm]
n [mm] \to [/mm] n+1:
z.z.: [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} \le \bruch{1}{(n+1)^{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2^{n+1}}=\bruch{1}{2*2^{n}} \le \bruch{1}{2*n^{3}}=\bruch{1}{n^{3}+n^{3}} [/mm] = .....???
Hier komme ich leider nicht mehr weiter...solle ja zum Schluss haben: [mm] \le \bruch{1}{(n+1)^{3}}=\bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+3*n+1} [/mm]
Aber wie komme ich auf das?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:51 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Babybel73,
> Hallo zusammen
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> Also ich bin jetzt so weit gekommen:
> Ich möchte zeigen, dass [mm]\bruch{n^{2}}{2^{n}} \le \bruch{n^{2}}{n^{3}}=\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Nun kann ich ja zeigen, dass [mm]\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}}[/mm]
>
> Für n [mm]\ge[/mm] 10 gilt:
> [mm]\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}}[/mm]
>
> Beweis via Induktion:
> n=10:
> [mm]\bruch{1}{2^{10}}=\bruch{1}{1024} \le \bruch{1}{1000}=\bruch{1}{10^{3}}[/mm]
>
> Ind.ann.:
> Es gilt für [mm]\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}}[/mm]
>
> n [mm]\to[/mm] n+1:
> z.z.: [mm]\bruch{1}{2^{n+1}} \le \bruch{1}{(n+1)^{3}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}=\bruch{1}{2*2^{n}} \le \bruch{1}{2*n^{3}}=\bruch{1}{n^{3}+n^{3}}[/mm]
> = .....???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles korrekt.
> Hier komme ich leider nicht mehr weiter...solle ja zum
> Schluss haben: [mm]\le \bruch{1}{(n+1)^{3}}=\bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+3*n+1}[/mm]
> Aber wie komme ich auf das?
Zu zeigen ist also noch
[mm] $n^3+n^3\ge n^{3}+3*n^{2}+3*n+1$.
[/mm]
Starte dazu mit (beachte: [mm] $n\ge [/mm] 10$)
[mm] $n^3+n^3=n^3+n*n^2\ge n^3+10*n^2= n^3+3*n^2+7n*n\ge\ldots$
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hallo zusammen
Hier mein vollständiger Beweis
Für n [mm] \ge [/mm] 10 gilt:
[mm] \bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}}
[/mm]
Beweis via Induktion:
n=10:
[mm] \bruch{1}{2^{10}}=\bruch{1}{1024} \le \bruch{1}{1000}=\bruch{1}{10^{3}}
[/mm]
Ind.ann.:
Es gilt für [mm] \bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}} [/mm]
n [mm] \to [/mm] n+1:
z.z.: [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} \le \bruch{1}{(n+1)^{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2^{n+1}}=\bruch{1}{2*2^{n}} \le \bruch{1}{2*n^{3}}=\bruch{1}{n^{3}+n^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{3}+n*n^{2}} \le \bruch{1}{n^{3}+10*n^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+7*n*n} \le \bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+70*n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+3*n+67*n} \le \bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+3*n+1} [/mm] q.e.d
Nach Satz: [mm] "(x_{n})_{n \in \IN} [/mm] Nullfolge in V [mm] \gdw \exists (r_{n})_{n \in \IN} \subset \IR, \limes_{n\rightarrow\infty} r_{n}=0, \exist n_{0} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}: \parallel x_{n} \parallel \le r_{n}"
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] da 0 [mm] \le \bruch{n^{2}}{2^{n}} \le \bruch{n^{2}}{n^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}}{2^{n}} [/mm] = 0
Ist das nun richtig so?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
>
> Hier mein vollständiger Beweis
> Für n [mm]\ge[/mm] 10 gilt:
> [mm]\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}}[/mm]
>
> Beweis via Induktion:
> n=10:
> [mm]\bruch{1}{2^{10}}=\bruch{1}{1024} \le \bruch{1}{1000}=\bruch{1}{10^{3}}[/mm]
>
> Ind.ann.:
> Es gilt für [mm]\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{n^{3}}[/mm]
> n [mm]\to[/mm] n+1:
> z.z.: [mm]\bruch{1}{2^{n+1}} \le \bruch{1}{(n+1)^{3}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}=\bruch{1}{2*2^{n}} \le \bruch{1}{2*n^{3}}=\bruch{1}{n^{3}+n^{3}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n^{3}+n*n^{2}} \le \bruch{1}{n^{3}+10*n^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+7*n*n} \le \bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+70*n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+3*n+67*n} \le \bruch{1}{n^{3}+3*n^{2}+3*n+1}[/mm]
> q.e.d
>
> Nach Satz: [mm]"(x_{n})_{n \in \IN}[/mm] Nullfolge in V [mm]\gdw \exists (r_{n})_{n \in \IN} \subset \IR, \limes_{n\rightarrow\infty} r_{n}=0, \exist n_{0} \in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge n_{0}: \parallel x_{n} \parallel \le r_{n}"[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] da 0 [mm]\le \bruch{n^{2}}{2^{n}} \le \bruch{n^{2}}{n^{3}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}}{2^{n}}[/mm]
> = 0
>
> Ist das nun richtig so?
Ja
FRED
>
> Liebe Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Di 15.10.2013 | | Autor: | Babybel73 |
Tiptop! Besten Dank für all eure Hilfe! :)
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Du kannst auch zeigen:
[mm] n^3 \le 2^n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 10.
Ich zeig Dir mal , wie ich den Schritt von n auf n+1 erledige:
Zunächst ein "Versuchsballon", eine Schmierzettelrechnung: mit einem a>1 mache ich den Ansatz
[mm] (n+1)^3 \le (n+a*n)^3.
[/mm]
Nun versuche ich das a so zu bestimmen, dass [mm] (n+a*n)^3 \le 2^{n+1} [/mm] ausfällt, natürlich unter der Induktionsvor. [mm] n^3 \le 2^n.
[/mm]
Somit:
[mm] (n+1)^3 \le (n+a*n)^3=(1+a)^3*n^3 \le (1+a)^3*2^n.
[/mm]
Jetz sieht man: ist [mm] (1+a)^3=2, [/mm] also [mm] $a=\wurzel[3]{2}-1$, [/mm] so bekommt man tatsächlich
[mm] (n+1)^3 \le 2^{n+1}.
[/mm]
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Jetzt kommt der eigentliche Beweis für n [mm] \to [/mm] n+1:
Sei also n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] n^3 \le 2^n. [/mm] Setze [mm] $a=\wurzel[3]{2}-1$. [/mm] Dann ist a>1 , also
[mm] (n+1)^3 \le (n+a*n)^3= (1+a)^3*n^3=2*n^3 \le 2*2^n=2^{n+1}
[/mm]
FRED
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