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| Aufgabe | Für k, n (Element [mm] \IN) [/mm] bezeichne
[mm] c_{n,k}:= [/mm] k [mm] (1-(1-\bruch{1}{k})^{n}).
[/mm]
Zeigen Sie: lim [mm] c_{n,k} [/mm] = n für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}. [/mm] |
Leider kann ich hierzu keinen passenden Ansatz finden.
Habe bereits probiert, allerdings bleibt das n in der Potenz stehen.....
Ich komme dann immer auf das Ergebnis [mm] 0^{n} [/mm] k.
Wer kann mir weiterhelfen?
Dankeschön vorab.
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Für festes n ist
[mm] (1-\bruch{1}{k})^{n}=1 -n\bruch{1}{k}+A\bruch{1}{k^2}-B\bruch{1}{k^3}... [/mm] und damit
[mm] 1-(1-\bruch{1}{k})^{n}=n\bruch{1}{k}-A\bruch{1}{k^2}+B\bruch{1}{k^3}... [/mm] und damit
[mm] k(1-(1-\bruch{1}{k})^{n})=n-A\bruch{1}{k}+B\bruch{1}{k^2}... [/mm] ) und damit
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}c_{n,k} =n-A*0+B*0-... =n.[/mm]
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> Für k, n (Element [mm]\IN)[/mm] bezeichne
> [mm]c_{n,k}:=[/mm] k [mm](1-(1-\bruch{1}{k})^{n}).[/mm]
> Zeigen Sie: lim [mm]c_{n,k}[/mm] = n für
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}.[/mm]
> Leider kann ich hierzu keinen passenden Ansatz finden.
> Habe bereits probiert, allerdings bleibt das n in der
> Potenz stehen.....
> Ich komme dann immer auf das Ergebnis [mm]0^{n}[/mm] k.
> Wer kann mir weiterhelfen?
> Dankeschön vorab.
ich habe erst umgeformt:
[mm] \frac{1-(1-\frac{1}{k})^n}{\frac{1}{k}} [/mm] dann z=1/k gesetzt (wodurch dann der lim nachher auch gegen 0 geht)
[mm] \limes_{z\rightarrow 0} \frac{1-(1-z)^n}{z} [/mm] was dann "0/0" gäbe, also L'Hopital anwendbar:
[mm] =\limes_{z\rightarrow 0} n*(1-z)^{n-1}=n
[/mm]
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