Limes einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR. [/mm] Berechnen Sie:
a) klar
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{a}{n})^{2n+2}.
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n})\summe_{i=1}^{n} (1+\bruch{a}{n})^{2i}. [/mm] |
b) Ich habe eine Musterlösung, in der der Grenzwert mit Hilfe von e berechnet wird. Leider würde ich darauf nie kommen. Gibt es Alternativen?
Kann ich das anders berechnen?
c) Leider habe ich auch hier keine Ahnung. Alleine das i schreckt mich ab!
Bin um jeden Tipp dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Do 24.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei a [mm]\in \IR.[/mm] Berechnen Sie:
> a) klar
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{a}{n})^{2n+2}.[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n})\summe_{i=1}^{n} (1+\bruch{a}{n})^{2i}.[/mm]
>
> b) Ich habe eine Musterlösung, in der der Grenzwert mit
> Hilfe von e berechnet wird. Leider würde ich darauf nie
> kommen. Gibt es Alternativen?
Nein, denn die Zahl e ist definiert als [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{n}.[/mm] Damit kann man zeigen:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{a}{n})^{n} = e^a[/mm]
Merk Dir das gut.
> Kann ich das anders berechnen?
> c) Leider habe ich auch hier keine Ahnung. Alleine das i
> schreckt mich ab!
Tipp: endliche geometrische Reihe: [mm] \summe_{i=1}^{n}q^i [/mm] = ? (q [mm] \not=1)
[/mm]
FRED
>
> Bin um jeden Tipp dankbar.
|
|
|
| |
|
Wie komme ich bei c) darauf, dass ich die endliche geometrische Reihe verwenden muss? Gibt es da Tipps, wie man soetwas sieht bzw. worauf ich achten muss?
Zur endlichen geom. Reihe:
Ich würde sagen, dass mein q = [mm] (1+\bruch{a}{n})^{2} [/mm] ist. Allerdings habe ich keinen Ideen, wie ich dann weiter verfahre....
Danke an alle, die sich bemühen
|
|
|
| |
|
Zu c) Wenn ich den Tipp endl. geom. Reihe nehme, dann verfahre ich wie folgt: [mm] q=(1+\bruch{a}{n})^{2}).
[/mm]
Dann setze ich ein:
[mm] \bruch{1}{1+\bruch{a}{n})^{2}}. [/mm] Wenn ich das berechne, dann komme ich zu den Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{\bruch{a}{n}* (2+\bruch{a}{n})}.
[/mm]
Liege ich richtig?
Wie verfahre ich jetzt weiter.
DANKE:-9
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Zu c) Wenn ich den Tipp endl. geom. Reihe nehme, dann
> verfahre ich wie folgt: [mm]q=(1+\bruch{a}{n})^{2}).[/mm]
> Dann setze ich ein:
> [mm]\bruch{1}{1+\bruch{a}{n})^{2}}.[/mm] Wenn ich das berechne,
> dann komme ich zu den Ergebnis:
> [mm]\bruch{1}{\bruch{a}{n}* (2+\bruch{a}{n})}.[/mm]
> Liege ich
> richtig?
Leider noch nicht, Loddar hat dir die Summenformel für eine unendliche geometrische Reihe gegeben, du brauchst aber zunächst die für endliche geometrische Rehen (also wenn der Grenzübergang von n gegen unendlich noch nicht geschehen ist)
Die sieht so aus:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}q^{i} [/mm] = [mm] \frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1$
[/mm]
(Wichtig: Normalerweise fängt die Summe bei 0 an, hier jedoch nicht, also müssen wir 1 auf der rechten Seite abziehen!)
Also für $q = [mm] \left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}$:
[/mm]
$= [mm] \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}} [/mm] - 1 = [mm] \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{\frac{a}{n}*\left(-2-\frac{a}{n}\right)} [/mm] - 1 = [mm] \frac{n}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} [/mm] - 1$
So, und nun geht es ja eigentlich um den Gesamtlimes:
[mm] $\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{2*i}\right]$
[/mm]
Einsetzen:
[mm] $\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - \frac{1}{n}\right]$
[/mm]
So, nun bist du dran!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> > Zu c) Wenn ich den Tipp endl. geom. Reihe nehme, dann
> > verfahre ich wie folgt: [mm]q=(1+\bruch{a}{n})^{2}).[/mm]
> > Dann setze ich ein:
> > [mm]\bruch{1}{1+\bruch{a}{n})^{2}}.[/mm] Wenn ich das berechne,
> > dann komme ich zu den Ergebnis:
> > [mm]\bruch{1}{\bruch{a}{n}* (2+\bruch{a}{n})}.[/mm]
> > Liege
> ich
> > richtig?
>
> Leider noch nicht, Loddar hat dir die Summenformel für
> eine unendliche geometrische Reihe gegeben, du brauchst
> aber zunächst die für endliche geometrische Rehen (also
> wenn der Grenzübergang von n gegen unendlich noch nicht
> geschehen ist)
>
> Die sieht so aus:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}q^{i} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1[/mm]
>
> (Wichtig: Normalerweise fängt die Summe bei 0 an, hier
> jedoch nicht, also müssen wir 1 auf der rechten Seite
> abziehen!)
>
> Also für [mm]q = \left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}[/mm]:
>
> [mm]= \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}} - 1 = \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{\frac{a}{n}*\left(-2-\frac{a}{n}\right)} - 1 = \frac{n}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - 1[/mm]
>
Wie komme ich in der Potenz auf {2*n+2}?
> So, und nun geht es ja eigentlich um den Gesamtlimes:
>
> [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{2*i}\right][/mm]
>
> Einsetzen:
>
> [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - \frac{1}{n}\right][/mm]
>
Dieser Rechnung kann ich leider nicht folgen...:-(
> So, nun bist du dran!
>
> Grüße,
> Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo!
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}q^{i} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1[/mm]
> >
> > (Wichtig: Normalerweise fängt die Summe bei 0 an, hier
> > jedoch nicht, also müssen wir 1 auf der rechten Seite
> > abziehen!)
> >
> > Also für [mm]q = \left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}[/mm]:
> >
> > [mm]= \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}} - 1 = \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{\frac{a}{n}*\left(-2-\frac{a}{n}\right)} - 1 = \frac{n}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - 1[/mm]
> Wie komme ich in der Potenz auf {2*n+2}?
Im Zähler der Summenformel steht
[mm] $1-q^{n+1}$,
[/mm]
nun setzen wir q ein:
$1 - [mm] \left(\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}\right)^{n+1}$
[/mm]
Und nach Potenzgesetzen: [mm] $\left(a^{n}\right)^{m} [/mm] = [mm] a^{n*m}$ [/mm] kann man das jetzt schreiben zu:
$1 - [mm] \left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*(n+1)} [/mm] = 1 - [mm] \left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}$
[/mm]
Okay?
> > So, und nun geht es ja eigentlich um den Gesamtlimes:
> >
> > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{2*i}\right][/mm]
Nun habe ich einfach das Monstrum von oben für die Summe eingesetzt:
> > Einsetzen:
> >
> > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - \frac{1}{n}\right][/mm]
Jetzt klarer?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> > > [mm]\summe_{i=1}^{n}q^{i} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1[/mm]
> > >
> > > (Wichtig: Normalerweise fängt die Summe bei 0 an, hier
> > > jedoch nicht, also müssen wir 1 auf der rechten Seite
> > > abziehen!)
> > >
> > > Also für [mm]q = \left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}[/mm]:
> > >
> > > [mm]= \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}} - 1 = \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{\frac{a}{n}*\left(-2-\frac{a}{n}\right)} - 1 = \frac{n}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - 1[/mm]
>
>
> > Wie komme ich in der Potenz auf {2*n+2}?
>
> Im Zähler der Summenformel steht
>
> [mm]1-q^{n+1}[/mm],
>
> nun setzen wir q ein:
>
> [mm]1 - \left(\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}\right)^{n+1}[/mm]
>
> Und nach Potenzgesetzen: [mm]\left(a^{n}\right)^{m} = a^{n*m}[/mm]
> kann man das jetzt schreiben zu:
>
> [mm]1 - \left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*(n+1)} = 1 - \left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}[/mm]
>
> Okay?
Ok, das verstehe ich jetzt. Danke
>
> > > So, und nun geht es ja eigentlich um den Gesamtlimes:
> > >
> > > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{2*i}\right][/mm]
>
> Nun habe ich einfach das Monstrum von oben für die Summe
> eingesetzt:
>
> > > Einsetzen:
> > >
> > > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - \frac{1}{n}\right][/mm]
>
> Jetzt klarer?
Leider nicht. Woher kommt denn bruch{a}{n} jetzt?
>
> Grüße,
> Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo!
[mm]\sum_{i=1}^{n}q^{i}= \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}} - 1 = \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{\frac{a}{n}*\left(-2-\frac{a}{n}\right)} - 1 = \frac{n}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - 1[/mm]
> > > > So, und nun geht es ja eigentlich um den Gesamtlimes:
> > > >
> > > > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{2*i}\right][/mm]
>
> >
> > Nun habe ich einfach das Monstrum von oben für die Summe
> > eingesetzt:
> >
> > > > Einsetzen:
> > > >
> > > > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - \frac{1}{n}\right][/mm]
>
> >
> > Jetzt klarer?
> Leider nicht. Woher kommt denn bruch{a}{n} jetzt?
Welchen Bruch genau meinst du? Sag mal die Formel und die Stelle 
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> [mm]\sum_{i=1}^{n}q^{i}= \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}} - 1 = \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{\frac{a}{n}*\left(-2-\frac{a}{n}\right)} - 1 = \frac{n}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - 1[/mm]
>
> > > > > So, und nun geht es ja eigentlich um den Gesamtlimes:
> > > > >
> > > > > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{2*i}\right][/mm]
>
> >
> > >
> > > Nun habe ich einfach das Monstrum von oben für die Summe
> > > eingesetzt:
> > >
> > > > > Einsetzen:
> > > > >
> > > > > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - \frac{1}{n}\right][/mm]
>
Gleich das 1/a am Anfang. Woher kommt das a?
> > >
> > > Jetzt klarer?
> > Leider nicht. Woher kommt denn bruch{a}{n} jetzt?
>
> Welchen Bruch genau meinst du? Sag mal die Formel und die
> Stelle
>
> Grüße,
> Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo!
> > [mm]\sum_{i=1}^{n}q^{i}= \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2}} - 1 = \frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{\frac{a}{n}*\left(-2-\frac{a}{n}\right)} - 1 = \frac{n}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - 1[/mm]
>
> >
> > > > > > So, und nun geht es ja eigentlich um den Gesamtlimes:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{2*i}\right][/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Nun habe ich einfach das Monstrum von oben für die Summe
> > > > eingesetzt:
> > > >
> > > > > > Einsetzen:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - \frac{1}{n}\right][/mm]
>
> >
> Gleich das 1/a am Anfang. Woher kommt das a?
Nun, wenn du in
[mm]\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{2*i}\right][/mm]
nun den Term von oben für die Summe einsetzt, erhältst du:
[mm] $\lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{2*i}\right] [/mm] = [mm] \lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{n}*\left(\frac{n}{a}*\frac{1-\left(1+\bruch{a}{n}\right)^{2*n+2}}{-2-\frac{a}{n}} - 1\right)\right]$
[/mm]
Und wenn du nun die große runde Klammer ausmultiplizierst, kürzt sich [mm] \frac{1}{n} [/mm] mit [mm] \frac{n}{a} [/mm] zu [mm] \frac{1}{a}. [/mm] Aus der 1, die am Ende in der runden Klammer abgezogen wird, wird dann [mm] \frac{1}{n}, [/mm] weil ja beim Ausmultiplizieren [mm] \frac{1}{n} [/mm] mit jedem Summanden / Subtrahenden in der Klammer multipliziert wird.
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
geometrische Reihe