Limes einer Partialsumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 05.04.2010 | | Autor: | nana |
| Aufgabe | Man bestimme den Limes der folgenden Folge von Partialsummen:
[mm] s_{n}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{3^{k}}{k!} [/mm] (n -> [mm] \infty).
[/mm]
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Also in diesem Fall ist es zwar einfach die Konv. nachzuweisen aber ich weiß nicht wie ich auf den Grenzwert kommen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen..
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man bestimme den Limes der folgenden Folge von
> Partialsummen:
> [mm]s_{n}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{3^{k}}{k!}[/mm] (n -> [mm]\infty).[/mm]
>
>
> Also in diesem Fall ist es zwar einfach die Konv.
> nachzuweisen aber ich weiß nicht wie ich auf den Grenzwert
> kommen soll.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen..
> Vielen Dank :)
es gilt [mm] $\exp(x)=\sum^\infty_{k=\blue{0}} \frac{x^k}{k!}=\lim_{n \to \infty}\sum^n_{k=\blue{0}} \frac{x^k}{k!}\,.$ [/mm] (Für jedes $x [mm] \in \IC$; [/mm] also insbesondere auch für jedes $x [mm] \in \IR$.) [/mm]
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist demzufolge (mit [mm] $x=3\,$)
[/mm]
[mm] $$s_n\;\;=\;\;\sum^n_{k=\red{1}} \frac{3^k}{k!}\;\;=\;\;-\underbrace{\frac{3^0}{0!}}_{=1}+\sum^n_{k=\blue{0}} \frac{3^k}{k!} \;\;\underset{n \to \infty}{\longrightarrow}\;\; -1+\ldots\;\;\;\text{???}$$
[/mm]
Kannst Du die [mm] "$\ldots$" [/mm] noch ergänzen?
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mo 05.04.2010 | | Autor: | nana |
> es gilt [mm]\exp(x)=\sum^\infty_{k=\blue{0}} \frac{x^k}{k!}=\lim_{n \to \infty}\sum^n_{k=\blue{0}} \frac{x^k}{k!}\,.[/mm]
> (Für jedes [mm]x \in \IC[/mm]; also insbesondere auch für jedes [mm]x \in \IR[/mm].)
OMG, vielen Dank, ich hab gar nicht gesehen dass das der Exponentialfunktionsreihendarst (:P) ähnelt.... dann weiß ich wie's geht...
> Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] ist demzufolge (mit [mm]x=3\,[/mm])
> [mm]s_n\;\;=\;\;\sum^n_{k=\red{1}} \frac{3^k}{k!}\;\;=\;\;-\underbrace{\frac{3^0}{0!}}_{=1}+\sum^n_{k=\blue{0}} \frac{3^k}{k!} \;\;\underset{n \to \infty}{\longrightarrow}\;\; -1+\ldots\;\;\;\text{???}[/mm]
>
> Kannst Du die "[mm]\ldots[/mm]" noch ergänzen?
das ist ja dann exp (3) also [mm] e^{3}, [/mm] also konv. die Reihe gegen -1+ [mm] e^{3}, [/mm] oder?
Tausend Dank!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > es gilt [mm]\exp(x)=\sum^\infty_{k=\blue{0}} \frac{x^k}{k!}=\lim_{n \to \infty}\sum^n_{k=\blue{0}} \frac{x^k}{k!}\,.[/mm]
> > (Für jedes [mm]x \in \IC[/mm]; also insbesondere auch für jedes [mm]x \in \IR[/mm].)
>
> OMG, vielen Dank, ich hab gar nicht gesehen dass das der
> Exponentialfunktionsreihendarst (:P) ähnelt.... dann weiß
> ich wie's geht...
>
> > Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] ist demzufolge (mit [mm]x=3\,[/mm])
> > [mm]s_n\;\;=\;\;\sum^n_{k=\red{1}} \frac{3^k}{k!}\;\;=\;\;-\underbrace{\frac{3^0}{0!}}_{=1}+\sum^n_{k=\blue{0}} \frac{3^k}{k!} \;\;\underset{n \to \infty}{\longrightarrow}\;\; -1+\ldots\;\;\;\text{???}[/mm]
>
> >
> > Kannst Du die "[mm]\ldots[/mm]" noch ergänzen?
>
> das ist ja dann exp (3) also [mm]e^{3},[/mm] also konv. die Reihe
> gegen -1+ [mm]e^{3},[/mm] oder?
genau, die Reihe (bzw. Folge der Partialsummen) konvergiert gegen [mm] $e^3-1$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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