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| Aufgabe | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] a_n [/mm] > 0 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeigen Sie, dass gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \bruch{1}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}inf a_n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}inf \bruch{1}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_n} [/mm] |
Hallo,
Aufgabe steht oben. Keine Ahnung wie, und wo ich da ansetzen soll...
Könnte mir bitte einer helfen?
Grüsse
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Do 29.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Alexander,
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm]a_n[/mm] > 0 für alle n
> [mm]\in \IN.[/mm]
> Zeigen Sie, dass gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup \bruch{1}{a_n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}inf a_n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}inf \bruch{1}{a_n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_n}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Setze $s_n=\sup\left \{1 /{a_k}\colon k \ge n\right\}$ und $t_n=\inf\left \{a_k}\colon k \ge n\right\}$ und zeige $s_n=1/t_n\,.$
Dann ist \limsup 1/a_n = \lim s_n = \lim 1/t_n = 1/\lim t_n=1/\liminf a_n\,.$
Grüße,
Wolfgang
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Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
Zeige zuerst:
Für A [mm] \subset \IR^+ [/mm] , [mm] \bruch{1}{A} [/mm] := [mm] \{\bruch{1}{a} | a \in A\}
[/mm]
1.) sup [mm] \bruch{1}{A} [/mm] = [mm] \bruch{1}{inf A}
[/mm]
2.) inf [mm] \bruch{1}{A} [/mm] = [mm] \bruch{1}{sup A}
[/mm]
Beweis:
1.) Sei sup [mm] \bruch{1}{A} [/mm] = M
[mm] \rightarrow \forall \bruch{1}{a} \in \bruch{1}{A}: \bruch{1}{a} [/mm] ≤ M, also ist auch 0 < M.
[mm] \rightarrow \bruch{1}{M} [/mm] ≤ a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A
[mm] \rightarrow \bruch{1}{M} [/mm] untere Schranke von A.
Zeige [mm] \bruch{1}{M} [/mm] = inf A.
Angenommen es ex. [mm] \bruch{1}{M^'} [/mm] > [mm] \bruch{1}{M}, [/mm] sodass [mm] \bruch{1}{M^'} [/mm] ≤ a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A.
[mm] \rightarrow \bruch{1}{a} [/mm] ≤ [mm] M^{'} \forall \bruch{1}{a} \in \bruch{1}{A}
[/mm]
Aber es ist auch M > [mm] M^{'} [/mm] ,weil [mm] \bruch{1}{M^'} [/mm] > [mm] \bruch{1}{M}
[/mm]
Also folgt: [mm] \bruch{1}{a} [/mm] ≤ [mm] M^{'} [/mm] < M [mm] \forall \bruch{1}{a} \in \bruch{1}{A}
[/mm]
Das ist ein Widerspruch, da M = sup [mm] \bruch{1}{A}
[/mm]
Also folgt [mm] \bruch{1}{M} [/mm] = inf A
[mm] \rightarrow \bruch{1}{inf A} [/mm] = M = sup [mm] \bruch{1}{A}
[/mm]
Der Beweis zu 2.) geht analog.
Zeige lim sup [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{lim inf a_n} [/mm] (mithilfe von dem Gezeigten davor)
Sei [mm] T_n [/mm] := sup [mm] \{\bruch{1}{a_k} | k \ge n\} [/mm] , [mm] s_n [/mm] := inf [mm] \{a_k | k \ge n\}, a_n \subset \IR, a_n [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] n
[mm] T_n [/mm] ist monoton fallend und [mm] s_n [/mm] ist monoton steigend.
[mm] \rightarrow [/mm] lim sup [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] = lim [mm] T_n [/mm] = lim sup [mm] \{\bruch{1}{a_k} | k \ge n\} [/mm] = lim [mm] \bruch{1}{inf \{a_k | k \ge n\}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{lim inf \{a_k | k \ge n \}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{lim s_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{lim inf a_n}
[/mm]
Der andere Beweis geht analog.
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
alles richtig!
Gruß,
Wolfgang
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Super, danke für deine Hilfe! :)
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