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| Aufgabe | Bestimmen sie jeweils alle Häufungswerte der Folge [mm] (a_n), [/mm] insbesondere den Limes superior und Limes inferior. Vergleichen Sie stets mit dem Infimum und Supremum der Menge [mm] A:={a_n : n \in \IN} \subset \IR.
[/mm]
(a) [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n (n\in \IN)
[/mm]
(b) [mm] a_{3n-2}=3 [/mm] + [mm] \frac{1}{n}, a_{3n-1}=\frac{2}{n}, a_{3n}=-\frac{1}{n²} [/mm] (n=1,2,.....)
(c) [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{1+(-1)^n*n²}{2 + 3n +n²} [/mm] |
Bei (a) sind die Häufungswerte 1 und -1 und auch der Limes superior und inferior, oder?? Ich verstehe den Vergleich mit der Menge nicht und komme auch bei (b) und (c) auf keine Lösung. Bitte helft mir. glg steffi
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Hallo,
> Bestimmen sie jeweils alle Häufungswerte der Folge [mm](a_n),[/mm]
> insbesondere den Limes superior und Limes inferior.
> Vergleichen Sie stets mit dem Infimum und Supremum der
> Menge [mm]A:={a_n : n \in \IN} \subset \IR.[/mm]
>
> (a) [mm]a_n[/mm] = [mm](-1)^n (n\in \IN)[/mm]
>
> (b) [mm]a_{3n-2}=3[/mm] + [mm]\frac{1}{n}, a_{3n-1}=\frac{2}{n}, a_{3n}=-\frac{1}{n²}[/mm]
> (n=1,2,.....)
>
> (c) [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{1+(-1)^n*n²}{2 + 3n +n²}[/mm]
> Bei (a) sind
> die Häufungswerte 1 und -1 und auch der Limes superior und
> inferior, oder??
Genau. [mm] LimSup(a_{n}) [/mm] = 1, [mm] LimInf(a_{n}) [/mm] = -1.
Was ist das Infimum (= größte untere Schranke) von [mm] a_{n}, [/mm] was ist das Supremum (= kleinste obere Schranke) von [mm] a_{n} [/mm] ? Du sollst dann einfach LimSup mit dem Supremum, und LimInf mit dem Infimum vergleichen.
> komme auch bei (b) und (c) auf keine Lösung.
> Bitte helft mir. glg steffi
Berechne bei b) von jeder der drei Teilfolgen von [mm] a_{n} [/mm] den Grenzwert. Wenn es eine konvergente Teilfolge mit Limes a einer Folge gibt, so ist a Häufungspunkt der gesamten Folge.
Mache bei c) eine Fallunterscheidung n = 2k und n = 2k+1 [mm] (k\in\IN). [/mm] Dann kannst du die Grenzwerte der beiden Teilfolgen bestimmen.
Grüße,
Stefan
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Hallo!
Also Aufgabe a) hast du ja schon richtig gelöst.
Zu b)
Die Folge hier kannst du in drei verschiedene Folgen aufspalten (wie?).
Was kannst du über die Häufungspunkte dieser Folgen sagen?
Konvergieren diese Folgen sogar?
Zu c)
Guck dir mal die Folge aller Glieder an bei denen n gerade ist.
Was ist dann [mm] (a_n)?
[/mm]
Konvergiert diese Teilfolge?
Wenn du das hast, machst du das Gleiche nochmal mit der Teilfolge, in der n ungerade ist.
Die Menge A ist die Menge aller Zahlen, die in der Folge auftreten.
Ist z.B. [mm] (a_n) [/mm] = n, so ist A = [mm] \IN.
[/mm]
Viel Erfolg! :)
MfG,
Benjamin
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