matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenLimes und Summe vertauschen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Reihen" - Limes und Summe vertauschen
Limes und Summe vertauschen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Limes und Summe vertauschen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Di 30.10.2012
Autor: DesterX

Hallo zusammen,
ich bin mir nicht ganz sicher unter welchen Voraussetzungen Limes und Summe vertauscht werden dürfen. Dabei interessiert mich besonders ein ganz einfacher Fall:

[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{\infty} a_{i,n}.$ [/mm]

Darf  hier bereits getauscht werden, falls [mm] $a_{i,n} \geq [/mm] 0$ für alle i,n? Oder braucht man bereits eine summierbare Majorante? Unter welchen Voraussetzungen wäre das denn ansonsten noch richtig?

Vielen Dank für Eure Hilfe, Dester




        
Bezug
Limes und Summe vertauschen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Di 30.10.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Darf  hier bereits getauscht werden, falls [mm]a_{i,n} \geq 0[/mm]

Nein, wähle bspw. [mm] $a_{i,n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm]

> Oder braucht man bereits eine summierbare Majorante?

Ja.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Limes und Summe vertauschen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Di 30.10.2012
Autor: DesterX

Danke für die schnelle Antwort. Auf dieses einfache Gegenbeispiel bin ich nicht gekommen.

Welche Kriterien gibt es denn neben einer Majorante noch?
Für endliche Summen sollte man es aber dürfen?

Bezug
                        
Bezug
Limes und Summe vertauschen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Di 30.10.2012
Autor: reverend

Hallo DesterX,

> Welche Kriterien gibt es denn neben einer Majorante noch?
>  Für endliche Summen sollte man es aber dürfen?

Welchen Sinn sollte das für endliche Summen machen?

Grüße
reverend


Bezug
                        
Bezug
Limes und Summe vertauschen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:37 Di 30.10.2012
Autor: tobit09

Hallo DesterX,


>  Für endliche Summen sollte man es aber dürfen?

Du betrachtest also einen Ausdruck der Form

(*)     [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{k} a_{i,n}$ [/mm]

für ein [mm] $k\in\IN$? [/mm]


Falls für alle [mm] $i=1,\ldots,k$ [/mm] die Folgen [mm] $(a_{i,n})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergieren, existiert der obige Limes (*) und ist gleich

     [mm] $\sum_{i=1}^k\lim_{n\rightarrow\infty}a_{i,n}$. [/mm]

Dies kann man durch eine einfache Induktion zeigen.


Weißt du dagegen nur, dass der Limes (*) existiert, müssen noch lange nicht die Folgen [mm] $(a_{i,n})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergieren. Also lässt sich der Limes nicht in die Summe ziehen.

Gegenbeispiel: k=2, [mm] $a_{1,n}:=(-1)^n$ [/mm] und [mm] $a_{2,n}:=(-1)^{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]