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| Aufgabe | Untersuche, ob die folgenden Grenzwerte exisitieren und berechne gegebenenfalls ihren Wert.
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x+1}{x-1}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow3} \bruch{1}{x^{-3}} [/mm] |
nabend,
ich hoffe ihr hattet alle schöne Weihnachten ;)
Das hier sind Zusatzaufgaben für extrapunkte die wir uns verdienen können, allerdings haben wir sowas noch nie gemacht deshalb möchte ich euch fragen wie man hier rangeht, meine konkreteren fragen wären:
woran sieht man ob der grenzwert an sich exitiert oder nicht?
wie berechnet man den "wert" bzw was genau stellt man sich darunter vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Di 27.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei Aufgabe b:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow3} \bruch{1}{x^{-3}} [/mm] $
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow3}x^{3} [/mm] $
Spätestens jetzt gibt es keinerrlei Bedenken, die 3 für x einzusetzen, es gilt also:
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow3}x^{3} [/mm] $
[mm] =3^{3}=27
[/mm]
Was genau ein Grenzwert bedeutet und wie man ihn berechnet, ist unter folgenden Links gut erklärt:
http://www.schulen.regensburg.de/wvsg/faecher/Grenzwerte%20bei%20rat.Funktionen/START.HTM
http://www.poenitz-net.de/Mathematik/5.Analysis/5.1.S.Grenzwerte.pdf
http://www.strobl-f.de/grund111.pdf
http://www.strobl-f.de/grundw7.pdf
Zu Aufgabe a)
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x+1}{x-1} [/mm] $
Klammere mal x im Zähler und Nenner aus.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x\cdot\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x\cdot\left(1-\frac{1}{x}\right)} [/mm] $
Nun kannst du das x kürzen, also:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} [/mm] $
Nun, da [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0 [/mm] $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1+0}{1-0} [/mm] $
$ =1 $
Marius
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Hallo,
eine kleine, aber merkenswerte Alternative für eine Umformung in a)
[mm]\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}[/mm]
Und hier ist der erste Summand konstant 1, der hintere strebt für [mm]x\to\infty[/mm] gegen 0, denn der Nenner wird immer immer größer bei konstantem Zähler.
Insgesamt ergibt sich [mm]1+0=1[/mm] als GW für [mm]x\to\infty[/mm]
Gruß
schachuzipus
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heyho,
erstmal danke für die Antwort.
bei nem Fall wie:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{x+2} -\wurzel{x})
[/mm]
ist da der Grenzwert einfach [mm] \wurzel{2} [/mm] ? wär zu einfach oder?^^ oder existiert der grenzwert hier nicht?
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Hallo,
> bei nem Fall wie:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\wurzel{x+2} -\wurzel{x})[/mm]
>
> ist da der Grenzwert einfach [mm]\wurzel{2}[/mm] ? wär zu einfach
> oder?^^ oder existiert der grenzwert hier nicht?
Viel zu einfach, aber er existiert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel{x+2}-\wurzel{x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\left(\wurzel{x+2}-\wurzel{x}\right)*\left(\wurzel{x+2}+\wurzel{x}\right)}{\wurzel{x+2}+\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{x+2}+\wurzel{x}}
[/mm]
Ist dir klar, wie ich bis hierher gekommen bin und wie der Grenzwert lautet?
BTW: ich glaube, du warst oben noch nicht fertig. Was ist jetzt
[mm] \limes_{x\rightarrow{3}}\bruch{1}{x^{-3}}
[/mm]
?
BTW2:
Der Limes, die Limites. 
Gruß, Diophant
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huhu,
mit der einen Aufgabe war doch shcon die Lösung drin oder?
[mm] \limes_{x\rightarrow3} \bruch{1}{x^{-3}} [/mm] = [mm] 3^3 [/mm] = 27 das ist doch dann der grenzwert.
Du hast ( sehr raffiniert!^^ ) mit der dritten binomischen formel gearbeitet und man sieht, dass der nenner immer größer wird also der Grenzwert 0 ist für x gegen unendlich oder?
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Hi,
> mit der einen Aufgabe war doch shcon die Lösung drin
> oder?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow3} \bruch{1}{x^{-3}}[/mm] = [mm]3^3[/mm] = 27 das ist
> doch dann der grenzwert.
ja, Marius hatte das am Anfang gemacht, das hatte ich überlesen, sorry!
> Du hast ( sehr raffiniert!^^ )
Man bemüht sich...
> mit der dritten binomischen
> formel gearbeitet und man sieht, dass der nenner immer
> größer wird also der Grenzwert 0 ist für x gegen
> unendlich oder?
genau so ist es: merke dir umbedingt den Trick mit dem 3. Binom, du wirst ihn noch für viele Grenzwerte, äh, Limites benötigen.
Gruß, Diophant
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sry aber nochma ne frage:
wenn man definitiv ne Zahl stehen hat, gegen was x oder n oder h geht wir [mm] \limes_{x\rightarrow3} [/mm] kann man immer einfach den fall betrachten wenn x = 3 ist?
in dem fall:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\wurzel{2+h}-\wurzel{2}}{h}
[/mm]
ja grenzwert 0, ohne dass man was berechnen müsste, was irgendwie zu einfach wäre bei so nem term oder?
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Hallo,
auch hier irrst du: man kann versuchen, das Problem durch Einsetzen zu lösen. Die einfachste aller Rechnungen sieht als Grenzwert so aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow{1}}(x+1)=1+1=2. [/mm]
Jedoch macht es dir die Analysis i.d.R. nicht so einfach. Im obigen Beispiel führt das Einsetzen nämlich auf einen der sog. nicht definierten Ausdrücke, nämlich 0/0.
Andere solcher nicht definierten Ausdrücke sind (im Zusammenhang mit Grenzwerten):
[mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm], [mm]0*\infty[/mm], [mm]\infty-\infty[/mm], [mm]1^{\infty}[/mm], [mm]\infty^0[/mm] sowie [mm]0^0[/mm],
wobei letzterer Term in manchen Zusammenhängen per Definition den Wert 1 zugesprochen bekommt. Das darf man aber i.A. beim Bestimmen von Grenzwerten nicht verwenden!
Zurück zu deinem obigen Beispiel: versuche auch hier, den Trick mit der dritten binomoschen Formel!
Gruß, Diophant
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ahh
aber erweitert mit der dritten formel ergibt bei mir:
[mm] \bruch{h}{h\* (\wurzel{2+h} -\wurzel{2})}
[/mm]
nur hab ich doch bei h = 0 immer noch ein nicht definierbaren bruch oder?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Di 27.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ahh
>
> aber erweitert mit der dritten formel ergibt bei mir:
>
>
> [mm]\bruch{h}{h\* (\wurzel{2+h} -\wurzel{2})}[/mm]
>
> nur hab ich doch bei h = 0 immer noch ein nicht
> definierbaren bruch oder?^^
Nicht ganz.
Du bekommst:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\wurzel{2+h}-\wurzel{2}}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0} \bruch{(\wurzel{2+h}-\wurzel{2})(\wurzel{2+h}+\wurzel{2})}{h(\wurzel{2+h}+\wurzel{2})} [/mm]
$ [mm] =\limes_{h\rightarrow0} \bruch{2+h-2}{h(\wurzel{2+h}+\wurzel{2})} [/mm] $
$ [mm] =\limes_{h\rightarrow0} \bruch{h}{h(\wurzel{2+h}+\wurzel{2})} [/mm] $
Nun kannst du h kürzen
$ [mm] =\limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{\wurzel{2+h}+\wurzel{2}} [/mm] $
Nun spricht nichts mehr dagegen, h=0 zu setzen.
Also:
[mm] $\limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{\wurzel{2+h}+\wurzel{2}} [/mm] $
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{2+0}+\wurzel{2}} [/mm] $
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}+\wurzel{2}} [/mm] $
[mm] $\bruch{1}{2\wurzel{2}} [/mm] $
Marius
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omg danke
ich könnt mir in den arsch treten dass ich das mit dem h wegkürzen übersehen habe!....
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