Limes x=-unendlich (e^x)*x^n < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
[mm] f(x)=(e^x)*(x^n) [/mm]
[mm] n\ge1\in\IN [/mm] und ist gerade (2, 4...), d.h. '-irgendwas' wird immer zu plus
Ich suche den limes fuer [mm] x->-\infty
[/mm]
meine Ueberlegung dazu ist, dass man erstmal die beiden Faktoren einzeln betrachtet.
e^(minus) heisst, es wird zu [mm] 1/(e^x) [/mm] und geht daher richtung 0
[mm] g(x)=e^x
[/mm]
[mm] x^n [/mm] bleibt so, und geht schonmal gegen unendlich
[mm] h(x)=x^n
[/mm]
Nun muss man nurnoch Zeigen ob der Bruch h(x)/g(x) in irgendeine Richtung geht, dazu muss man ermitteln welcher Wert 'schneller' waechst.
Da Wachsen was mit Ableitung zu tun hat leitet man beide erstmal ab.
bei [mm] e^x [/mm] passiert nix, wegen der Kettenregel, die man zum glueck aber nicht 'anwenden' muss.
aus h(x) wird h'(x)=nx
es muss also einer von 3 Faellen zutreffen:
1. [mm] nx
2. [mm] nx>e^x
[/mm]
3. [mm] nx=e^x
[/mm]
Da ein schnelleres Wachstum allerdings auch eine staerkere Kruemmung mit sich bringt, reicht es zu zeigen, dass [mm] e^x [/mm] 'krummer' ist als [mm] x^n, [/mm] ob nun rechts oder links sollte(?) egal sein.
also nochmal ableiten und dann hat man:
[mm] g''(x)=e^x
[/mm]
h''(x)=n
Nun wieder die 3 Faelle:
[mm] n>e^x
[/mm]
[mm] n
[mm] n=e^x
[/mm]
Wenn aber schnelleres Wachstum eine staerkere Kruemmung mit sich bringt, so kann man auch sagen, dass eine staerkere Kruemmung auch eine staerkere Kruemmung der Kruemmung mit sich bringt (wie benennt man das??).
also nochmal ableiten und schon steht nur noch
[mm] g'''(x)=e^x
[/mm]
h'''(x)=0
und da [mm] e^x [/mm] niemals [mm] \le [/mm] 0 ist, kann man sagen, dass [mm] e^x [/mm] schneller waechst und der bruch [mm] (x^n)/(e^x) [/mm] fuer x-> unendlich gegen 0 geht und sich vom positiven annaehert.
Ist das mit der 3. Ableitung so ok? oder kann man mit der 2. schon argumentieren? weil n ist ja niemals 'unendlich'
(ja ich weiss, L'hopital ist hier hilfreich, jedoch waren das einfach meine Gedanken dazu ;) )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Mi 05.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich verstehe hast du die Transformation x nach -x gemacht und lässt y gegen + unendlich laufen.
also betrachtest du dann [mm] (-x)^n/e^x
[/mm]
1- [mm] f(x)=x^n f'\not= [/mm] n*x sonder [mm] f'=n*x^{n-1}
[/mm]
also scheiterst du erstmal mit deinen Ableitungen. wie ist denn [mm] e^x [/mm] definiert?
wenn du mit den Ableitungen hantieren willst dann n mal den L'Hopital
sonst die Def. von [mm] e^x [/mm] durch seine Reihe.
Bruss leduart
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Hallo,
ich moechte nicht die Steigung vom Bruch wissen, sondern ob der eine Faktor schneller als der andere steigt.
wie man vernuenftig ableitet (kettenregel, produktregel, quotientregel) ist mir gelaeufig!
Reicht es nicht zu zeigen, dass der eine Faktor bei x=(-)unendlich groesser als der andere ist?
edit: e=2,7....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Mi 05.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.was heisst schnelleres Wachstum= grössere Krümmung, die Geraden y=x und y=2x haben dieselbe Krümmung obwohl 2x die doppelte Steigung hat?
2. du kannst nicht einfach [mm] e^x [/mm] für neg, x [mm] 1/e^x [/mm] nennen, du musst schon x insgesamt durch -x ersetzen. Und dass deine Ableitungen falsch waren hast du nicht erwähnt.
diene Idee ist nicht ganz falsch sie ist aber, richtig durchgeführt, gerade die Regel von
L'Hopital
wenn du ableiten kannst, warum dann [mm] (x^n)'=n*x?
[/mm]
Gruß leduart
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ups, das war in der Tat ein Fluechtigkeitsfehler, schuldigung ;)
korrekt waere [mm] (x^n)->nx^{n-1} [/mm] (n ist ja schon definiert, daher kein prob)
was ich meine ist, dass [mm] x^2 [/mm] eine groessere Kruemmung hat als [mm] x^4 [/mm] (daher ja die bezeichnungen 'gestaucht' und mmh, das andere ;)
Jetzt versteh ich auch, dass man das so nicht direkt beweisen kann (man muesste ja n-mal ableiten, was ein bisschen irre ist)
Aber ums mal zu versuchen, die 'vorletzte ableitung' lautet dann:
h^((n-1'))(x)=[n*(n-1)*(n-2)*...(3)*(2)]*x
das muss man dann mit [mm] e^x [/mm] vergleichen
Und ja, du hast Recht, es ist wohl besser mit -x anstatt x zu argumentieren :)
Da n in immer < unseres [mm] \infty [/mm] ist ('darf' man so argumentieren?) und x aber [mm] \infty [/mm] ist, ist [mm] e^x [/mm] immer > [mm] x^n, [/mm] das kann man an einer einfacheren Basis zeigen wie [mm] n^x>x^n [/mm] (sorry kenne mich mit Beweisfuehrung nicht so aus!)
Eine andere Argumentation waere die Steigung an 2 Stellen vor der letzten Wendestelle(der original-Funktion) zu betrachten, und dann argumentieren, wenn sie zwischen den 2 Punkten kleiner wird, so wird sie immer kleiner, da es ansonsten ja irgendwo wieder eine Wendestelle gibt?
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Hallo,
ich glaube, dui hast dich hier irgendwie total verrannt. Denn hier mit Sicherheit einfachsten Weg hatte leduart schon erwähnt: mit der Potenzreihe der e-Funktion
[mm] e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
[/mm]
ist der Grenzwert
[mm] \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^n*e^x\right)=0
[/mm]
doch unmittelbar ablesbar. Deine Version funktioniert nur über die Regel von de l'Hospital, und genau das hier:
> Jetzt versteh ich auch, dass man das so nicht direkt
> beweisen kann (man muesste ja n-mal ableiten, was ein
> bisschen irre ist)
ist eben nicht irre sondern es ist dann in diesem Falle notwendig (und es gelingt auch ohne Schwierigkeiten, wenn man ein wenig nachdenkt und die Fakultät einer natürlichen Zahl kennt...).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Mi 05.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Deine Version funktioniert nur
> über die Regel von de l'Hospital, und genau das hier:
>
> > Jetzt versteh ich auch, dass man das so nicht direkt
> > beweisen kann (man muesste ja n-mal ableiten, was ein
> > bisschen irre ist)
>
> ist eben nicht irre sondern es ist dann in diesem Falle
> notwendig (und es gelingt auch ohne Schwierigkeiten, wenn
> man ein wenig nachdenkt und die Fakultät einer
> natürlichen Zahl kennt...).
vielleicht als kleine Anmerkung: wenn man es geschickt als Induktion formuliert, reicht es sogar aus, genau einmal abzuleiten 
LG Felix
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Hi,
aber wie formuliert man, dass n ja obwohl eine Variable, nicht 'unendlich' ist wie x. bzw. man betrachtet ja eig. immer nur eine Funktion wie z.b. [mm] (x^2)/e^x
[/mm]
(n=2 hier) und moechte von der auf andere schliessen (nicht woertlich nehmen!)
@felix: meine Vermutung: man zeigt, dass die Ableitung von [mm] x^n [/mm] kleiner als [mm] x^n [/mm] ist, [mm] e^x [/mm] aber konstant bleibt, und daher [mm] e^x [/mm] 'gewinnt' ?
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Hallo,
> Hi,
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> aber wie formuliert man, dass n ja obwohl eine Variable,
> nicht 'unendlich' ist wie x. bzw. man betrachtet ja eig.
> immer nur eine Funktion wie z.b. [mm](x^2)/e^x[/mm]
> (n=2 hier) und moechte von der auf andere schliessen
> (nicht woertlich nehmen!)
Ich hoffe, ich verstehe dich richtig ...
"Es sei [mm]n\in\IN[/mm] beliebig, aber fest", wäre eine Formulierung
>
> @felix: meine Vermutung: man zeigt, dass die Ableitung von
> [mm]x^n[/mm] kleiner als [mm]x^n[/mm] ist, [mm]e^x[/mm] aber konstant bleibt, und
> daher [mm]e^x[/mm] 'gewinnt' ?
Das mit dem "kleiner" und "gewinnt" ist eine gefährliche Sache. Wieviel kleiner muss es sein, damit das andere gewinnt?
Das ist wenig aussagekräftig.
Wenn ich das richtig sehe in dem Wirrwar, geht es um [mm]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x}[/mm]
Das strebt bei direktem Grenzübergang gegen [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Da kannst du die Regel von de l'Hôpital anwenden, Zähler und Nenner getrennt ableiten und kommst auf
[mm]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{nx^{n-1}}{e^x}[/mm], was wieder gegen [mm]\frac{0}{0}[/mm] strebt.
Also wieder de l'Hôpital.
Insgesamt n-mal ...
Der Hinweis, die Bildungsvorschrift der k-ten Ableitung (k=0,...,n) von [mm]f(x)=x^n[/mm] per Induktion zu beweisen, ist doch sinnvoll.
0. Ableitung: [mm]x^n[/mm]
1.Ableitung [mm]n\cdot{}x^{n-1}[/mm]
2.Ableitung [mm]n\cdot{}(n-1)\cdot{}x^{n-2}[/mm]
3.Ableitung [mm]n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdot{}x^{n-3}[/mm]
...
k-te Ableitung: [mm]n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdot{}\ldots\cdot{}(n-k+1)\cdot{}x^{n-k}[/mm]
Und schließlich die n-te Ableitung: [mm]n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdot{}\ldots\cdot{}(n-n+1)\cdot{}x^{n-n}=n!\cdot{}x^0=n![/mm]
Also hast du nach der n-ten Anwendung von de l'Hôpital das [mm]x^n[/mm] zur Konstante [mm]n![/mm] runtergeschraubt, Potenz für Potenz
Es ergibt sich also [mm]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{n!}{e^x}[/mm]
"=[mm]n!/\infty[/mm]=0"
Gruß
schachuzipus
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so 'in etwa' hab ich's mir ja auch gedacht, mit diophants hinweis (n! anstatt soviel schreiben), ich dachte nur es sei genuegend:
[mm] n!*x
kann man als generelle Regel dann sagen: der 'Faktor' der oefter differenzierbar ist, bleibt am ende stehen? (hier eben [mm] e^x, [/mm] aber koennte ja auch [mm] 2^x [/mm] sein, da x unendlich)
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Hallo,
jetzt wende doch endlich mal de l'Hospital an, dann erübrigen sich deine Überlegungen. Wir können hier ja auch sicherlich noch solche Dinge wie die AGM-Ungleichung ins Spiel bringen, aber ich denke nicht, dass dir bei deinem angegebenen Background damit geholfen wäre.
Gruß, Diophant
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[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} f(x)=(e^x)*x^{2n}
[/mm]
n [mm] \in \IN
[/mm]
1. x=-x
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)=(e^(-x))*(-x)^(2n)
h(x)=(-x)^(2n)
[mm] j(x)=e^x
[/mm]
k=2n-1
[mm] h^k(x)=(2n)!*(-x)
[/mm]
[mm] j^k(x)=e^x
[/mm]
h^2n(x)=-((2n)!)
[mm] j^2n(x)=e^x
[/mm]
Falls (h'(x))/(j'(x)) gegen 0 konvergiert darf ie Regel von L'Hopital angewandt werden: dies stimmt zwar nicht fuer obiges, aber fuer (h^2n(x))/(j^2n(x)), denn:
-((2n)!)=Konstante
[mm] e^x [/mm] bei [mm] x->\infty [/mm] -> [mm] (-Zahl)/\infty [/mm] -> 0
Somit ist die Regel von L'Hopital anwendbar. Mit dieser folgt die Konvergenz von [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)=(e^(-x))*(-x)^(2n) mit Grenzwert 0.
Daher ist der Grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} f(x)=(e^x)*x^{2n} [/mm] auch 0
richtig?
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Hallo sinnlos,
Deine Notation entspricht Deinem Nick. Sie ist unhaltbar, unlogisch und unverständlich. Selbst wenn Du richtig denkst, kann das so niemand nachvollziehen, und Du wirst nur mit großem Wohlwollen Punkte für so eine Lösung bekommen.
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} f(x)=(e^x)*x^{2n}[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm]
Hier fängts schon an. Du vermischst die Funktionsdefinition mit der Grenzwertbetrachtung. Das sind entweder zwei verschiedene Gleichungen, oder in diese gehört auch rechts der Limes.
Wenn Du jetzt noch die Formelschreibweise (oder den Editor) benutzen würdest, wäre das Folgende auch lesbar...
> 1. x=-x
Das trifft ja schonmal immer zu, wenn x=0 ist, oder wenn x nicht definiert ist. Natürlich auch, wenn "-" eine Kurzschreibweise für "$1*$" ist. Oder...
Ansonsten ist das Schwachsinn!
Definiere, wie leduart schon weiter oben vorgeschlagen hat: $y:=-x$
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x)=(e^(-x))*(-x)^(2n)
Dann hättest Du hier:
[mm] \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}e^x*x^{2n}=\lim_{y\to\infty}e^{-y}*(-y)^{2n}=\lim_{y\to\infty}e^{-y}*(y^2)^n=\lim_{y\to\infty}\br{(y^2)^n}{e^y}
[/mm]
> h(x)=(-x)^(2n)
> [mm]j(x)=e^x[/mm]
> k=2n-1
Du schreibst zusammenhanglos. Ein Minimum an Text wäre hier schon hilfreich, z.B. "Wir definieren:".
Daraus folgt dann:
> [mm]h^k(x)=(2n)!*(-x)[/mm]
Ach ja? War schon irgendwo de l'Hospital erwähnt? Und stimmt das eigentlich bei der Definition von k? Rechne noch mal nach.
> [mm]j^k(x)=e^x[/mm]
Das soll jetzt also die (2n-1)-te Ableitung von [mm] e^x [/mm] sein. Schön. Auch das ist ohne Erwähnung der Vorgehensweise unverständlich, wenn auch inhaltlich richtig.
> h^2n(x)=-((2n)!)
Äh, wieso?
> [mm]j^2n(x)=e^x[/mm]
Na, da kann man nicht viel falsch machen.
> Falls (h'(x))/(j'(x)) gegen 0 konvergiert darf ie Regel von
> L'Hopital angewandt werden:
Das hast Du doch längst!
> dies stimmt zwar nicht fuer
> obiges, aber fuer (h^2n(x))/(j^2n(x)), denn:
> -((2n)!)=Konstante
> [mm]e^x[/mm] bei [mm]x->\infty[/mm] -> [mm](-Zahl)/\infty[/mm] -> 0
>
> Somit ist die Regel von L'Hopital anwendbar.
Bahnhof habe ich verstanden, aber offenbar ist er gerade geschlossen. Jedenfalls komme ich nicht rein.
Du musst begründen, warum für jede Ableitungsebene hier l'Hôpital anwendbar ist.
(Hier könnte noch ein Absatz zur Schreibweise französischer Adelsnamen folgen. Den schenke ich mir.)
> Mit dieser
> folgt die Konvergenz von [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm]
> f(x)=(e^(-x))*(-x)^(2n) mit Grenzwert 0.
Warum? (Ergebnis richtig, Begründung unklar.)
Notation wie oben schon öfter: falsch.
> Daher ist der Grenzwert von [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} f(x)=(e^x)*x^{2n}[/mm]
> auch 0
Notation...
Keine logische Begründung.
Null Punkte.
- und das, obwohl Du offenbar alles ganz richtig gedacht hast.
> richtig?
Nein. Fast nichts davon.
Grüße
reverend
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ok, ich werde spaeter eine richtige Form schreiben (mach das immer erst aufm papier)
y=-x, ok das versteh ich, warum das andere nicht korrekt ist
"Rechne noch mal nach." (mit dem kten schritt), werde ich tun
"- und das, obwohl Du offenbar alles ganz richtig gedacht hast." meinst du das "richtig" ironisch, oder habe ich es verstanden vom elementaren Prinzip her?
Wegen der fehlenden Begruendung, dachte ich man muss nichts mehr begruenden, auf wikipedia (..weiss, ist nicht gerade topnotch) ist der Grenzuebergang gegen 0 auch sehr kurz:
[mm] http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital#Grenz.C3.BCbergang_bei_x0.3D0
[/mm]
ich habe eigentlich nur die Gliederung uebernommen.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Do 06.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
auf wiki steht eine Beweisskizze für die einmalige Anwendung von L'Hôpital.
du musst das n mal anwenden. natürlich könntest du das mit der Taylorreihe fpr [mm] e^x [/mm] abkürzen -auf nichts anderm berunht der n- fach L'Hôpital.
ich sehe auf der zitierten Seite nichts was deinem vorgehen ähnelt
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Do 06.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> ok, ich werde spaeter eine richtige Form schreiben (mach das immer erst aufm papier)
Ich bin mir ziemlich sicher, dass du es auf dem Papier fast
genauso so fürchterlich schreibst. Du solltest eine Aufgabe
immer erst auf deinem Papier probieren und wenn du dann nicht
weiterkommen solltest, dann kannst du auch hier nachfragen.
Ich habe oft das Gefühl, dass viele Fragestellung vorher
kaum selbst durchdacht sind. Man sollte sich aber bewusst
werden, dass man vor Allem durch das präzise mathematische
Aufschreiben eigener "Probleme" viel genauer seine Fehler
findet und viel besser dazulernt. Wenn man dann hier schreibt,
dann sollte es vor Allem ordentlich geschehen. Unordentliche
bzw. unübersichtliche Fragestellungen kann ich
persönlich nicht nachvollziehen. Wenn einer mit [mm] {\latex}{\LaTeX\xspace} [/mm] (noch) nicht
zurecht kommt, dann kann ich das verstehen, aber bei dir
scheint es nicht daran zu liegen. Ich bin ehrlich gesagt
über solche Haltungen etwas enttäuscht. Reverend hat sich
die Mühe gemacht deine Fehler, ja es sind auf jeden Fall
Fehler, zu korrigieren, aber du siehst es ziemlich gelassen
und schiebst es auf deine "Faulheit". Well done.
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 Do 06.02.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
gewöhn Dir einen möglichst richtigen Aufschrieb selbst für Nebenrechnungen an. Alles andere ist eine Falle, die Du Dir selbst stellst.
Es ist übrigens die Falle, in die ich selbst am häufigsten tappe, also alles andere als ein Ratschlag "von oben herab".
> ok, ich werde spaeter eine richtige Form schreiben (mach
> das immer erst aufm papier)
Gut. Aber machs am besten von Anfang an.
> y=-x, ok das versteh ich, warum das andere nicht korrekt
> ist
>
> "Rechne noch mal nach." (mit dem kten schritt), werde ich
> tun
>
> "- und das, obwohl Du offenbar alles ganz richtig gedacht
> hast." meinst du das "richtig" ironisch, oder habe ich es
> verstanden vom elementaren Prinzip her?
Nein, gar nicht ironisch. Du hast die Lösung verstanden, die Du da präsentierst, aber Du solltest etwaigen Korrektoren auch ermöglichen, das nachzuvollziehen. Nur daran hängts.
> Wegen der fehlenden Begruendung, dachte ich man muss nichts
> mehr begruenden, auf wikipedia (..weiss, ist nicht gerade
> topnotch) ist der Grenzuebergang gegen 0 auch sehr kurz:
>
> [mm]http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital#Grenz.C3.BCbergang_bei_x0.3D0[/mm]
> ich habe eigentlich nur die Gliederung uebernommen.
Du musst nicht immer begründen - je nachdem, was ihr so verwenden dürft -, aber Du musst immer begründen können.
Nichts (mehr) gegen Wikipedia, das verlinke ich öfter. Aber von der Argumentationsstruktur geht das nicht. Das heißt, plain words: es stand im Internet, also kann ich das als gegeben voraussetzen.
Das aber wird niemals der Fall sein, obwohl da wirklich viel Richtiges steht. Wahr ist nur, was bei Euch schon bewiesen ist. Wenn es das nicht ist, dann musst Du es selbst tun. Kein Handbuch, keine Formelsammlung, keine Internetseite kann das ersetzen. So ist halt Mathematik. Die Suche nach der Wahrheit, der reinen Wahrheit, und nichts als der Wahrheit.
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Do 06.02.2014 | | Autor: | sinnlos123 |
ich moechte mich nochmal fuer dieAchts Kommentar bedanken, ehrliche Kritik hilft mir mehr als Kuschelkurs ;)
jedoch moechte ich zuindest eins klar stellen, an Faulheit liegt es nicht, denn es waere fuer mich (und auch fuer euch) sicherlich einfacher wenn ich direkt von Anfang an alles richtig aufschreib (Notationen etc).
'Wer faul sein will, muss es beherrschen' so in etwa ;)
Ich versuche mit dem Latex editor jetzt erst mal die Sachen aufzuschreiben, wenn es dann fertig ist stell ichs hier rein.
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