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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Folgende Aufgaben soll ich lösen und finde keinen Ansatz.
A) Bestimme die Limites der Folgen [mm] (a_{n})_{n \ge 0}:
[/mm]
i) [mm] a_{0} [/mm] = [mm] \wurzel{2}, a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2+a_{n}} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0.
ii) [mm] a_{0} [/mm] = [mm] \wurzel{n^{2}+23}-n
[/mm]
B) Zur Abkürzung setzen wir [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
i) Die Zahl [mm] \alpha [/mm] ist nicht rational, d.h. es gibt keine natürlichen Zahlen p,q mit q [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{p}{q}.
[/mm]
ii) Es gibt eine Konstante c [mm] \in \IR, [/mm] c > 0 mit [mm] |q\alpha [/mm] - p| [mm] \ge \bruch{c}{q}
[/mm]
für alle natürlichen Zahlen [mm] p,q,q\not= [/mm] 0.
Hinweis zu ii): Zeige, dass [mm] (q\alpha [/mm] - [mm] p)(q\alpha [/mm] + p) eine ganze Zahl vom Betrag [mm] \ge [/mm] 1 ist und schätze anschließend [mm] q\alpha [/mm] + p ab.
Helft mir bitte. Ich bin echt am Verzweifeln.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> A) Bestimme die Limites der Folgen [mm](a_{n})_{n \ge 0}:[/mm]
>
> i) [mm]a_{0}[/mm] = [mm]\wurzel{2}, a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{2+a_{n}}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 0.
Diese Frage wurde (allgemein) bereits hier [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]) gestellt und ausführlich beantwortet.
Gruß
Loddar
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Und noch ein Tipp für Deine Aufgabe B i.) . . . . https://matheraum.de/read?t=98880&v=f
Kannst Du bei B ii.) bitte nochmal Deine Aufgabenstellung überprüfen? Da scheint mir irgend etwas durcheinander geraten mit den $p_$ und $q_$ ...
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke für deine sehr freundliche Hilfe.
Ich habe die Aufgaben so angegeben, wie ich sie vorliegen habe.
Was meinst du denn, was bei B ii) falsch sein könnte?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 So 20.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> B) Zur Abkürzung setzen wir [mm]\alpha[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> i) Die Zahl [mm]\alpha[/mm] ist nicht rational, d.h. es gibt keine
> natürlichen Zahlen p,q mit q [mm]\not=[/mm] 0 und [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{p}{q}.[/mm]
ein indirekter Beweis dazu steht in jedem Anfängerbuch und unter irrationalität von [mm] \wurzel{2} [/mm] sicher auch 1000 mal im Netz.
Solch Aufgaben sollen Leute auch dazu anregen, mal die empfohlenen und andere Bücher zu benutzen.
Aber, wenn du ii) bewiesen hast ist das auch ein Irrationalitätsbeweis, weil ii ja sagt, dass [mm] |\wurzel{2}-\bruch{p}{q}| [/mm] für kein p,q 0sein kann!
> ii) Es gibt eine Konstante c [mm]\in \IR,[/mm] c > 0 mit [mm]|q\alpha[/mm] -
> p| [mm]\ge \bruch{c}{q}[/mm]
> für alle natürlichen Zahlen
> [mm]p,q,q\not=[/mm] 0.
1. p/q ist ein gekürzter Bruch, d.h. ggT( p,q)=1
[mm] |\wurzel{2}-\bruch{p}{q}| * (\wurzel{2}+\bruch{p}{q})=|2 -\bruch{p^2}{q^2}|[/mm]
jetzt betrachte:[mm]|2 -\bruch{p^2}{q^2}|=|\bruch{2*q^2-p^2}{q^2}|[/mm]
Fallunterscheidung: [mm] a)p^{2} [/mm] ungerade,d.h.p ung., daraus [mm] 2q^{2}p^{2} [/mm] ungerade,
[mm] |2q^{2}p^{2}| \ge [/mm] 1
b) p gerade folgt q ungerade, [mm] p^{2} [/mm] durch 4 teilbar, [mm] 2q^{2} [/mm] nicht durch 4 teilbar [mm] |2q^{2}p^{2}| \ge [/mm] 2
zusammen: [mm] |2q^{2}p^{2}| \ge [/mm] 1 und damit [mm]|\bruch{2*q^2-p^2}{q^2}| \ge \bruch{1}{q^2}|[/mm]
So nun musst du nur noch [mm] (\wurzel{2}+\bruch{p}{q}) \le [/mm] 3 oder gröber [mm] (\wurzel{2}+\bruch{p}{q}) \le [/mm] 4 benutzen und du hast dein c sogar explizit als 1/3 bzw 1/4 nachgewiesen.
Meine Ungl kannst du mit q multipl. dann hast du deine.
Nebenbemerkung: bevor man verzweifelt, sollte man unbedingt Lehrbücher ansehen! Dabei lernt man die auch zu benutzen, und nicht nur Lösungen von Aufgaben zu suchen! Leider lernt man auf der Schule das nachlesen von Mathe gar nicht!
Gruss leduart
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