Lin.Hülle, Erz.-system, Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 So 09.01.2005 | | Autor: | mel_t84 |
Hallo!
Wir hatten vor einiger zeit die Begriffe Lineare Hülle, Erzeugendensystem und Basis in der Vorlesung, die ja alle irgendwie aufeinander aufbauen. Nur habe ich schon da nicht wirklich verstanden, was damit gemeint ist und verstehe es immer noch nicht, auch wenn ich mich schon ausgiebig damit beschäftigt habe.
Es wäre echt lieb, wenn sich jemand finden würde, der mir das nochmal erklären könnte.
Ich habe das so verstanden, dass die Lineare Hülle die Menge aller Linearkombinationen ist. Nun haben wir weiter definiert: eine Teilmenge M [mm] \subseteq [/mm] V heißt Erzeugendensystem von V [mm] :\gdw [/mm] Lin M=V. Das heißt ja aber, dass es in V auch Vektoren geben muss, die nicht Element der lineare Hülle von M sind. Sind nicht aber alle Vektoren irgendwie als Linearkombination darstellbar, besonders da ja nicht die Bedingung gegeben ist, dass die Vektoren linear unabhängig sind, das wird ja erst bei der Basis definiert.
Da diese Begriffe immer wieder kommen, kann ich das langsam alles nicht mehr einordnen. Ich bin echt für jede Hilfe dankbar.
Melanie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 So 09.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Ich habe das so verstanden, dass die Lineare Hülle die
> Menge aller Linearkombinationen ist.
Wohlgemerkt aller endlichen Linearkombinationen. Wenn M unendlich ist, dann darf man nicht etwa ein unendliche Reihe bilden.
> Nun haben wir weiter
> definiert: eine Teilmenge M [mm]\subseteq[/mm] V heißt
> Erzeugendensystem von V [mm]:\gdw[/mm] Lin M=V. Das heißt ja aber,
> dass es in V auch Vektoren geben muss, die nicht Element
> der lineare Hülle von M sind.
Wieso das denn? Lin M = V bedeutet doch genmau das Gegenteil, also jedes Element von V ist auch Element von Lin M, und umgekehrt.
> Sind nicht aber alle Vektoren
> irgendwie als Linearkombination darstellbar,
Klar, zB jeder Vektor [mm]v[/mm] ist darstellabr als [mm]1*v[/mm]
> besonders da
> ja nicht die Bedingung gegeben ist, dass die Vektoren
> linear unabhängig sind, das wird ja erst bei der Basis
> definiert.
Jetzt verstehe ich nicht mehr, wo das hinsoll ...
Also, mal kurz:
Wenn ich alle endlichen Lin.komb. aus M bilde, heisst es noch lange nicht, dass ich damit alles darstellen kann. Sei zB [mm]M = \{v\}[/mm]. Dann erhalte ich alle Vielfachen von v als lin. Hülle - aber nicht mehr. Also ist es etwas besonderes wenn Lin M = V gilt. Überlege dir zB mal, daß Lin V = V ist, falls V ein Vektorraum/Unterraum ist.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mi 12.01.2005 | | Autor: | mel_t84 |
hallo,
nachdem ich jetzt zwei tage über deine atwort nachgedacht habe, ist mir das glaube alles klar geworden, ich hatte irgendwie nen totalen denkfehler drin.
danke fürs erklären!
Melanie
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