Lin. Abb. Eigenschaften zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Fr 10.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IQ \to \IQ [/mm] eine Abbildung mit der Eigenschaft [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IQ: [/mm] f(x+y)=f(x)+f(y)
a)f(0)=0
[mm] b)\forall [/mm] q [mm] \in \IQ: [/mm] f(-q)=-f(q)
[mm] c)\forall [/mm] n, m [mm] \in \IN: m*f(\bruch{1}{n})= f(\bruch{m}{n})
[/mm]
[mm] d)\forall [/mm] n [mm] \in \IN: \bruch{1}{n}f(1)=f(\bruch{1}{n})
[/mm]
und folgern sie Daraus [mm] \forall [/mm] r,s [mm] \in \IQ: [/mm] f(r*s)=r*f(s) |
Hallo,
bei der a) habe ich mir folgendes Überlegt:
sei y:=-x [mm] \rightarrow [/mm] f(x-x)=f(x)-f(x)=0
Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich nicht f(x+(-x)) schreiben muss. Dann wüsste ich nicht wie ich das zeigen soll, denn dann bräuchte ich den Beiweis aus b)
b) hab ich ähnlich gemacht, deshalb bin ich mir aus dem gleichen Grund unsicher:
sei x=0 und y=-q
f(0-q)=f(0)-f(q) und mit der a) ist das -f(q)
c) und d) dürften ähnlich gehen, nur komm ich nicht auf die Idee wie ich die Eigenschaft zeigen ohne f(r*s)=r*f(s) zu verwenden.
Am Schluss f(r*s)=r*f(s) zu zeigen ist kein Problem. Das sieht man ja fast sofort aus der Aufgabenstellung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Fr 10.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
so wie du a) zeigst, benutzt du b)
berechne f(0+0):
in b) benutze dann a)
in c hast du anscheinend nen Schreibfehler? korrigiere bitte. denn da steht ja f(1/n)=1/n
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Fr 10.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo
> so wie du a) zeigst, benutzt du b)
Also darf man nicht f(x-x) schreiben sondern muss f(x+(-x)) schreiben?
f(0+0)=f(0)+f(0). Aber ohne die Funktion zu kennen, kann ich ja so nicht zeigen, dass dass auch 0 ist.
> berechne f(0+0):
> in b) benutze dann a)
> in c hast du anscheinend nen Schreibfehler? korrigiere
> bitte. denn da steht ja f(1/n)=1/n
Ist korriegiert, danke
> Gruss leduart
>
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Hallo Sup,
> > Hallo
> > so wie du a) zeigst, benutzt du b)
> Also darf man nicht f(x-x) schreiben sondern muss
> f(x+(-x)) schreiben?
> f(0+0)=f(0)+f(0). Aber ohne die Funktion zu kennen, kann
> ich ja so nicht zeigen, dass dass auch 0 ist.
Na, es ist doch $0+0=0$
Also hast du $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$
Ohne den Mittelteil also $f(0)=f(0)+f(0)$
Nun ist $-f(0)$ additiv invers zu $f(0)$, addiere das beiderseits:
$f(0)+(-f(0))=(f(0)+f(0))+(-f(0))$
also $0=f(0)$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Sup |
a)
f(0+0)=f(0)+f(0) |-f(0)
0=f(0)
b)Jetzt bin ich mir immer noch nicht im klaren ob ich das so
f(0+(-q))=f(0)+f(-q)=f(-q) oder so f(0-q)=f(0)-f(q) schreiben muss.
Bzw. gilt die Eigenschaft der Additivität automatisch auch für die Subtraktion.
c) Ich hab überlegt wie ich [mm] \bruch{m}{n} [/mm] noch ausdrücken kann.
Aber bei all meinen Einfällen, weiß ich nicht, wie ich das m ausklammer soll, ohne die Eigenschaft der Homogenität.
Wenn ich mit [mm] m*f(\bruch{1}{n}) [/mm] anfange, tritt das gleiche Problem auf.
Bei d) ist das natürlich das selbe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 11.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> a)
> f(0+0)=f(0)+f(0) |-f(0)
> 0=f(0)
>
> b)Jetzt bin ich mir immer noch nicht im klaren ob ich das
> so
> f(0+(-q))=f(0)+f(-q)=f(-q) oder so f(0-q)=f(0)-f(q)
> schreiben muss.
> Bzw. gilt die Eigenschaft der Additivität automatisch auch
> für die Subtraktion.
Das willst du grade zeigen
also f(-q)=f(0-q)=f(0+(-q)=...
> c) Ich hab überlegt wie ich [mm]\bruch{m}{n}[/mm] noch ausdrücken
> kann.
> Aber bei all meinen Einfällen, weiß ich nicht, wie ich
> das m ausklammer soll, ohne die Eigenschaft der
> Homogenität.
2*f(1/n)=f(1/n)*f(1/n)=f(1/n+1/n) entsprechend mit m*f(1/n) mit einfachster Induktion.
> Wenn ich mit [mm]m*f(\bruch{1}{n})[/mm] anfange, tritt das gleiche
> Problem auf.
>
> Bei d) ist das natürlich das selbe.
d) r als folge von n/m darstellen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 12.06.2011 | | Autor: | Sup |
Alos bei b)
f(-q)=f(0-q)=f(0+(-q))=f(0)+f(-q)=f(-q)
Ich muss doch aber auf -f(q) kommen.
c) [mm] (0+m)*f(\bruch{1}{n})=0*f(\bruch{1}{n}) +m*f(\bruch{1}{n})=f(0*\bruch{1}{n}+m*\bruch{1}{n})=f(\bruch{m}{n})
[/mm]
d)
> d) r als folge von n/m darstellen.
> Gruss leduart
mit r meinst du wohl 1/n. Ich weiß nicht genau wie ich das als Folge dasstelle, da das in den Übungen noch nicht drankam, aber kann ich das nocht analog zu c) machen.
[mm] (0+\bruch{1}{n})*f(1)=0*f(1)+\bruch{1}{n}*f(1)=f(0*1+\bruch{1}{n}*1)=f(\bruch{1}{n})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 12.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
0=f(0)= f(q-q)=f(q)+f(-q)
Für c) und d) zeige zunächst induktiv:
[mm] f(x_1+...+x_n)=f(x_1)+...+f(x_n)
[/mm]
zu c) f(m/n)=f(1/n+....+1/n)=mf(1/n)
d) folgt aus c) mit m=n
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 12.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Zu b)
>
> 0=f(0)= f(q-q)=f(q)+f(-q)
Damit hat man doch jetzt nicht gezeigt f(-q)=-f(q)
> Für c) und d) zeige zunächst induktiv:
Naja was gibts da groß zu zeigen:
[mm] f(x_1+(x_2+...+x_n))=f(x_1)+f((x_2(x_3+...+x_n))=f(x_1)+f(x_2)+ f(x_3+(x_4+...+x_n)=....=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)
[/mm]
Man muss ja nur stur die Additivität verwenden und mit dem Klammern etwas rumhantieren.
>
> [mm]f(x_1+...+x_n)=f(x_1)+...+f(x_n)[/mm]
>
> zu c) f(m/n)=f(1/n+....+1/n)=mf(1/n)
Ja genau das verstehe ich nicht. Verwendet man damit nicht die Homogenität, die ich ja erst am schluss zeigen soll.
Ohne die steht da doch am Ende f(m*(1/n)). Da kann ich das m ja nicht einfach rausziehen.
>
> d) folgt aus c) mit m=n
>
> FRED
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Hallo nochmal,
> > Zu b)
> >
> > 0=f(0)= f(q-q)=f(q)+f(-q)
> Damit hat man doch jetzt nicht gezeigt f(-q)=-f(q)
Hach, das ist doch immer dasselbe Argument...
Ohne Mittelteil steht da:
[mm]0=f(q)+f(-q)[/mm]
[mm]-f(q)[/mm] ist additiv invers zu [mm]f(q)[/mm], addiere das von links auf beiden Seiten ...
> > Für c) und d) zeige zunächst induktiv:
> Naja was gibts da groß zu zeigen:
>
> [mm]f(x_1+(x_2+...+x_n))=f(x_1)+f((x_2(x_3+...+x_n))=f(x_1)+f(x_2)+ f(x_3+(x_4+...+x_n)=....=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)[/mm]
>
> Man muss ja nur stur die Additivität verwenden und mit dem
> Klammern etwas rumhantieren.
Dahinter verbirgt sich ja eine Induktion:
[mm]f(x_1+x_2+\ldots+x_n+x_{n+1})=f((x_1+\ldots x_n)+x_{n+1})=f(x_1+\ldots x_n)+f(x_{n+1})[/mm] (Fall [mm]n=2[/mm])
[mm]=(f(x_1)+\ldots f(x_n))+f(x_{n+1})[/mm] nach IV
> >
> > [mm]f(x_1+...+x_n)=f(x_1)+...+f(x_n)[/mm]
> >
> > zu c) f(m/n)=f(1/n+....+1/n)=mf(1/n)
> Ja genau das verstehe ich nicht. Verwendet man damit nicht
> die Homogenität, die ich ja erst am schluss zeigen soll.
> Ohne die steht da doch am Ende f(m*(1/n)). Da kann ich das
> m ja nicht einfach rausziehen.
Naja, es ist doch [mm]f(m/n)=f(m\cdot{}1/n)=f(\underbrace{1/n+\ldots 1/n}_{m-\text{mal}})=m\cdot{}f(1/n)[/mm] nach dem Obigen
> >
> > d) folgt aus c) mit m=n
> >
> > FRED
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 So 12.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Dahinter verbirgt sich ja eine Induktion:
>
> [mm]f(x_1+x_2+\ldots+x_n+x_{n+1})=f((x_1+\ldots x_n)+x_{n+1})=f(x_1+\ldots x_n)+f(x_{n+1})[/mm]
> (Fall [mm]n=2[/mm])
>
> [mm]=(f(x_1)+\ldots f(x_n))+f(x_{n+1})[/mm] nach IV
>
> > >
> > > [mm]f(x_1+...+x_n)=f(x_1)+...+f(x_n)[/mm]
> > >
> > > zu c) f(m/n)=f(1/n+....+1/n)=mf(1/n)
> > Ja genau das verstehe ich nicht. Verwendet man damit
> nicht
> > die Homogenität, die ich ja erst am schluss zeigen soll.
> > Ohne die steht da doch am Ende f(m*(1/n)). Da kann ich
> das
> > m ja nicht einfach rausziehen.
>
> Naja, es ist doch
> [mm]f(m/n)=f(m\cdot{}1/n)=f(\underbrace{1/n+\ldots 1/n}_{m-\text{mal}})=m\cdot{}f(1/n)[/mm]
> nach dem Obigen
Ja klar, taucht das m-mal auf und mir ist auch klar, dass das im Allgemeinen stimmt.
Aber ich habe ja die nur die Eigenschaft f(x+y)=f(x)+f(y).
Die verwendest du meiner Ansicht nach bis hierhin:
[mm] f(m/n)=f(m\cdot{}1/n)=f(\underbrace{1/n+\ldots 1/n}_{m-\text{mal}})=f(0)+f(m*1/n)=f(m*1/n)
[/mm]
Um dann auch =m*f(1/n) zu kommen brauche ich doch zwangsläufig die eigenschaft der Homogenität (also f(r*s)=r*f(s)), die ich ja erst am Ende der Aufgabe zeigen soll.
Zumindest ist da min gedankliches Problem.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 So 12.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast doch schon gezeigt, dass:
[mm] f(x_1+...+x_n)=f(x_1)+...+f(x_n) [/mm]
Setze nun
[mm]x_{i}=\frac{1}{n};\forall i[/mm]
Marius
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