Lin. Abb. bei Matrizen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Di 02.02.2010 | | Autor: | Piezke |
| Aufgabe | | Sei A:= [mm] \pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 } \varepsilon M(2,3;\IR) [/mm] und [mm] \varphi [/mm] := [mm] \phi_{A} [/mm] : [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] , [mm] \varphi(x) [/mm] := Ax die zugehörige lineare Abbildung von [mm] \IR^3->\IR^2. [/mm] Finden Sie die Basen [mm] B_3 [/mm] von [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] von [mm] \IR^2 [/mm] sodass [mm] M(B_2, B_3; \varphi) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
ich habe eine Lösung und würde gerne wissen ob diese richtig ist.
Erstmal wähle ich mir für den [mm] \IR^3 [/mm] die Standardbasis.
Da habe ich ja schon die Hälfte geschafft.
Jetzt habe ich mir gedacht ... super, da brauche ich ja nur folgendes zu tun:
Sei [mm] B_3' [/mm] = { [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] } eine weitere Basis in [mm] \IR^3.
[/mm]
[mm] \varphi(e_1) [/mm] = 1 * [mm] \varphi(b_1) [/mm] + 0 * [mm] \varphi(b_2) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4}
[/mm]
[mm] \varphi(e_2) [/mm] = 0 * [mm] \varphi(b_1) [/mm] + 1 * [mm] \varphi(b_2) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5}
[/mm]
[mm] \varphi(e_3) [/mm] = 0 * [mm] \varphi(b_1) [/mm] + 0 * [mm] \varphi(b_2) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 6}
[/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] \varphi(e_1) [/mm] = [mm] \varphi(b_1) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4}
[/mm]
[mm] \varphi(e_2) [/mm] = [mm] \varphi(b_2) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5}
[/mm]
[mm] \varphi(e_3) [/mm] = 0
Damit wäre meine Basis für den [mm] \IR^2 [/mm] gegeben durch [mm] B_2 [/mm] := { [mm] \vektor{0 \\ 4}, \vektor{2 \\ 5} [/mm] }
Stimmt das ?
lg
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> Sei A:= [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 } \varepsilon M(2,3;\IR)[/mm]
> und [mm]\varphi[/mm] := [mm]\phi_{A}[/mm] : [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] , [mm]\varphi(x)[/mm] := Ax
> die zugehörige lineare Abbildung von [mm]\IR^3->\IR^2.[/mm] Finden
> Sie die Basen [mm]B_3[/mm] von [mm]\IR^3[/mm] und [mm]B_2[/mm] von [mm]\IR^2[/mm] sodass [mm]M(B_2, B_3; \varphi)[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}[/mm] ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe eine Lösung und würde gerne wissen ob diese
> richtig ist.
> Erstmal wähle ich mir für den [mm]\IR^3[/mm] die Standardbasis.
> Da habe ich ja schon die Hälfte geschafft.
>
> Jetzt habe ich mir gedacht ... super, da brauche ich ja nur
> folgendes zu tun:
>
> Sei [mm]B_3'[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]b_1, b_2, b_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine weitere Basis in [mm]\IR^3.[/mm]
>
> [mm]\varphi(e_1)[/mm] = 1 * [mm]\varphi(b_1)[/mm] + 0 * [mm]\varphi(b_2)[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 4}[/mm]
> [mm]\varphi(e_2)[/mm] = 0 * [mm]\varphi(b_1)[/mm] + 1 *
> [mm]\varphi(b_2)[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm]
> [mm]\varphi(e_3)[/mm] = 0 *
> [mm]\varphi(b_1)[/mm] + 0 * [mm]\varphi(b_2)[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm]
>
> Daraus folgt dann:
>
> [mm]\varphi(e_1)[/mm] = [mm]\varphi(b_1)[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 4}[/mm]
> [mm]\varphi(e_2)[/mm]
> = [mm]\varphi(b_2)[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm]
> [mm]\varphi(e_3)[/mm] = 0
>
> Damit wäre meine Basis für den [mm]\IR^2[/mm] gegeben durch [mm]B_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:=
> { [mm]\vektor{0 \\ 4}, \vektor{2 \\ 5}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Stimmt das ?
Hallo,
ja, diese Basis könntest Du nehmen, vorausgesetzt, Du wählst dann die basis des \IR^3 passend.
Wie Du aber dahingekommen bist, erschließt sich mir nicht.
Schade, daß Du Dein Tun nicht kommentierst, dann könnte man darauf eingehen und sagen, wo ggf. etwas falsch gedacht ist.
Spätestens bei
> [mm]\varphi(e_3)[/mm] = 0
erkennt man ja, daß etwas nicht stimmen kann.
Gruß v. Angela
>
> lg
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 02.02.2010 | | Autor: | Piezke |
Erstmal danke für die schnelle Reaktion.
Also ...
Die Matrix M soll doch den Zusammenhang der Basen im [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] beschreiben (da bin ich mir nicht sicher da mein Prof mit "Vokabeln" spart und ich diese Art der Notation niergends gefunden habe).
Nehmen wir mal A raus und definieren die Abbildung [mm] \varphi [/mm] so x -> x.
Dann hätten wir doch durch die Matrix M eine Abbildung der Einheitsvektoren [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] die folgendermaßen ausschaut:
[mm] \varphi(e_1) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}.
[/mm]
[mm] \varphi(e_2) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
[mm] \varphi(e_3) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
Damit hätten wir die Standardbasis des [mm] \IR^2 [/mm] also [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Das ist ja äquivalent zu der Schreibweise:
[mm] \varphi(e_1) [/mm] = 1 * [mm] \varphi(e_1) [/mm] + 0 * [mm] \varphi(e_1) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \varphi(e_2) [/mm] = 0 * [mm] \varphi(e_1) [/mm] + 1 * [mm] \varphi(e_2) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \varphi(e_3) [/mm] = 0 * [mm] \varphi(e_3) [/mm] + 0 * [mm] \varphi(e_3) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Jetzt kommt noch die Abbildungsvorschrift A hinzu:
Also gilt jetzt [mm] \varphi [/mm] := Ax
[mm] A:=\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }
[/mm]
Für die Aufgabe muss ich eine Basis im [mm] \IR^2 [/mm] so wählen, dass:
Vorsicht: Die nächsten 3 Zeilen sind nicht ganz korrekt:
[mm] \varphi(e_1) [/mm] = 1 * [mm] \varphi(e_1) [/mm] + 0 * [mm] \varphi(e_1) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4}
[/mm]
[mm] \varphi(e_2) [/mm] = 0 * [mm] \varphi(e_2) [/mm] + 1 * [mm] \varphi(e_2) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5}
[/mm]
[mm] \varphi(e_3) [/mm] = 0 * [mm] \varphi(e_3) [/mm] + 0 * [mm] \varphi(e_3) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 6}
[/mm]
Denn ich will ja jetzt die Basis des [mm] \IR^2 [/mm] haben. Und diese Basis ist ja nicht die Einheitsmatrix wie im [mm] \IR^3 [/mm] sondern steht mit der Basis des [mm] \IR^3 [/mm] in einem Verhältnis, dass durch M gegeben ist.
[mm] \varphi(e_1) [/mm] = 1 * [mm] \varphi(b_1) [/mm] + 0 * [mm] \varphi(b_1) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4}
[/mm]
[mm] \varphi(e_2) [/mm] = 0 * [mm] \varphi(b_2) [/mm] + 1 * [mm] \varphi(b_2) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5}
[/mm]
[mm] \varphi(e_3) [/mm] = 0 * [mm] \varphi(b_3) [/mm] + 0 * [mm] \varphi(b_3) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 6}
[/mm]
Jetzt rechne ich dies aus und erhalte somit [mm] \varphi(b_1), \varphi(b_2) [/mm] und [mm] \varphi(b_3). [/mm] Somit bekomme ich die Basis [mm] \vektor{0 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 5} [/mm] für den [mm] \IR^3.
[/mm]
Wenn dies falsch ist dann würde ich mich freuen wenn du mir sagen könntest (oder jemand anderes) wo ein Denkfehler ist. Ich kann das auch noch weiter ausführen falls nötig. Aber vielleicht habe ich da irgendwas verdreht. Ich bin sehr unsicher bzgl. dieses Themas.
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| Aufgabe | | Sei A:= $ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 } \varepsilon M(2,3;\IR) [/mm] $ und $ [mm] \varphi [/mm] $ := $ [mm] \phi_{A} [/mm] $ : $ [mm] \IR^3 [/mm] $ -> $ [mm] \IR^2 [/mm] $ , $ [mm] \varphi(x) [/mm] $ := Ax die zugehörige lineare Abbildung von $ [mm] \IR^3->\IR^2. [/mm] $ Finden Sie die Basen $ B $ von $ [mm] \IR^3 [/mm] $ und $ C $ von $ [mm] \IR^2 [/mm] $ sodass $ M(C,B; [mm] \varphi) [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm] $ ist. |
> Die Matrix M soll doch den Zusammenhang der Basen im [mm]\IR^3[/mm]
> und [mm]\IR^2[/mm] beschreiben (da bin ich mir nicht sicher da mein
> Prof mit "Vokabeln" spart und ich diese Art der Notation
> niergends gefunden habe).
Hallo,
die Matrix A, die Du in der Aufgabe gegeben hast, beschreibt die Abbildung [mm] \varphi [/mm] bzgl. der Standardbasen [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_2:
[/mm]
in den Spalten stehen die Bilder der Standardbasisvektoren von [mm] E_3, [/mm] und zwar in Koordinaten bzgl. [mm] E_2, [/mm] also so, wie man es gewohnt ist.
Du sollst jetzt Basen [mm] B:=(b_1, b_2, b_3) [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] C:=(c_1, c_2) [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] finden, so daß die darstellende Matrix von [mm] \varphi [/mm] bzgl. dieser Basen die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}. [/mm] (Ich habe gegenüber der ursprunglichen Aufgabenstellung ein klein wenig umgetauft.)
> Nehmen wir mal A raus und definieren die Abbildung [mm]\varphi[/mm]
> so x -> x.
Das kann ja überhaupt nicht klappen.
x kann nicht auf x abgebildet werden, weil wir aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] abbilden.
x auf x wäre ja auch die identische Abbildung, was [mm] \varphi [/mm] ja offensichtlich nicht ist.
So kann das also nicht funktionieren.
Überlegen wir mal, was wir suchen.
Wir suchen Basen B und C so, daß
[mm] \varphi(b_1)=c_1
[/mm]
[mm] \varphi(b_2)=c_2
[/mm]
[mm] \varphi(b_3)=0.
[/mm]
(Das entnehme ich der geforderten Darstellungsmatrix)
Und hier gibt's einen Ansatzpunkt: der Vektor [mm] b_3 [/mm] muß im Kern der Abbildung liegen.
Bestimme solch einen Vektor.
Nun ergänze ihn zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] - das klappt hier mit [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2.
[/mm]
Und dann wirst Du wissen, was Du als C nehmen kannst.
Soweit zunächst von meiner Seite aus.
Gruß v. Angela
> Dann hätten wir doch durch die Matrix M eine Abbildung
> der Einheitsvektoren [mm]e_1, e_2, e_3[/mm] die folgendermaßen
> ausschaut:
>
> [mm]\varphi(e_1)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0}.[/mm]
>
> [mm]\varphi(e_2)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 1}.[/mm]
>
> [mm]\varphi(e_3)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0}.[/mm]
>
> Damit hätten wir die Standardbasis des [mm]\IR^2[/mm] also
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}.[/mm]
>
> Das ist ja äquivalent zu der Schreibweise:
>
> [mm]\varphi(e_1)[/mm] = 1 * [mm]\varphi(e_1)[/mm] + 0 * [mm]\varphi(e_1)[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> [mm]\varphi(e_2)[/mm] = 0 * [mm]\varphi(e_1)[/mm] + 1 *
> [mm]\varphi(e_2)[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> [mm]\varphi(e_3)[/mm] = 0 *
> [mm]\varphi(e_3)[/mm] + 0 * [mm]\varphi(e_3)[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> Jetzt kommt noch die Abbildungsvorschrift A hinzu:
> Also gilt jetzt [mm]\varphi[/mm] := Ax
> [mm]A:=\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }[/mm]
>
>
> Für die Aufgabe muss ich eine Basis im [mm]\IR^2[/mm] so wählen,
> dass:
>
> Vorsicht: Die nächsten 3 Zeilen sind nicht ganz korrekt:
> [mm]\varphi(e_1)[/mm] = 1 * [mm]\varphi(e_1)[/mm] + 0 * [mm]\varphi(e_1)[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 4}[/mm]
> [mm]\varphi(e_2)[/mm] = 0 * [mm]\varphi(e_2)[/mm] + 1 *
> [mm]\varphi(e_2)[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm]
> [mm]\varphi(e_3)[/mm] = 0 *
> [mm]\varphi(e_3)[/mm] + 0 * [mm]\varphi(e_3)[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm]
>
> Denn ich will ja jetzt die Basis des [mm]\IR^2[/mm] haben. Und diese
> Basis ist ja nicht die Einheitsmatrix wie im [mm]\IR^3[/mm] sondern
> steht mit der Basis des [mm]\IR^3[/mm] in einem Verhältnis, dass
> durch M gegeben ist.
>
> [mm]\varphi(e_1)[/mm] = 1 * [mm]\varphi(b_1)[/mm] + 0 * [mm]\varphi(b_1)[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 4}[/mm]
> [mm]\varphi(e_2)[/mm] = 0 * [mm]\varphi(b_2)[/mm] + 1 *
> [mm]\varphi(b_2)[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm]
> [mm]\varphi(e_3)[/mm] = 0 *
> [mm]\varphi(b_3)[/mm] + 0 * [mm]\varphi(b_3)[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm]
>
>
> Jetzt rechne ich dies aus und erhalte somit [mm]\varphi(b_1), \varphi(b_2)[/mm]
> und [mm]\varphi(b_3).[/mm] Somit bekomme ich die Basis [mm]\vektor{0 \\ 4}[/mm]
> und [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm] für den [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Wenn dies falsch ist dann würde ich mich freuen wenn du
> mir sagen könntest (oder jemand anderes) wo ein Denkfehler
> ist. Ich kann das auch noch weiter ausführen falls nötig.
> Aber vielleicht habe ich da irgendwas verdreht. Ich bin
> sehr unsicher bzgl. dieses Themas.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 02.02.2010 | | Autor: | Piezke |
Vielleicht hänge ich schon zu lange davor und sollte morgen weitermachen. Aber manchmal kann man sich einfach nicht lösen.
Ich will es nochmal versuchen ...
Ich möchte mal die komplette Standardbasis des [mm] \IR^3 [/mm] durch die Abbildung schicken. Also:
Erstmal ohne den "Basiswechsel".
[mm] \varphi( \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] ) = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6}
[/mm]
Jetzt kommt der Basiswechsel:
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^T [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 4 & 5 }
[/mm]
Die beiden Spaltenvektoren des Ergebnises bilden eine Basis im [mm] \IR^2.
[/mm]
Zitat - Angela
Und hier gibt's einen Ansatzpunkt: der Vektor muß im Kern der Abbildung liegen. Bestimme solch einen Vektor.
Zitat Ende
Nun ich kann doch als dritten Vektor jeden Vektror des [mm] \IR^3 [/mm] nehmen der die Einheitsvektoren [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] zu einer Basis im [mm] \IR^3 [/mm] ergänzt, denn durch die Struktur der Vorschrift zum Basiswechsel fällt dieser ja sowieso weg. Diese Struktur macht auch den dritten Spaltenvektor der Abbildungsvorschrift eigentlich! überflüssig. (Natürlich brauch ich den trotzdem damit ich die Abbildungsvorschrift mit einem Vektor x auf dem [mm] \IR^3 [/mm] multiplizieren kann.
Aber ich sitze schon so lange daran und irgendwie bin ich in dieser Sicht so verfangen, dass ich es für richtig halte (trotz meines nicht vorhandenen Verständnises für Mathematik).
Gruss, Piezke
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> Vielleicht hänge ich schon zu lange davor und sollte
> morgen weitermachen. Aber manchmal kann man sich einfach
> nicht lösen.
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> Ich will es nochmal versuchen ...
> Ich möchte mal die komplette Standardbasis des [mm]\IR^3[/mm]
> durch die Abbildung schicken. Also:
>
> Erstmal ohne den "Basiswechsel".
>
> [mm]\varphi( \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm] ) =
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6}[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6}[/mm]
Hallo,
na, diese Aktion, das Multiplizieren mit der Einheitsmatrix, war jetzt nicht so erhellend, oder?
>
> Jetzt kommt der Basiswechsel:
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6}[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^T[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 2 \\ 4 & 5 }[/mm]
>
> Die beiden Spaltenvektoren des Ergebnises bilden eine Basis
> im [mm]\IR^2.[/mm]
Ja, vor allem aber eine Basis des Bildes von [mm] \varphi.
[/mm]
>
>
> Zitat - Angela
> Und hier gibt's einen Ansatzpunkt: der Vektor muß im
> Kern der Abbildung liegen. Bestimme solch einen Vektor.
> Zitat Ende
>
>
> Nun ich kann doch als dritten Vektor jeden Vektror des
> [mm]\IR^3[/mm] nehmen der die Einheitsvektoren [mm]e_1[/mm] und [mm]e_2[/mm] zu einer
> Basis im [mm]\IR^3[/mm] ergänzt, denn durch die Struktur der
> Vorschrift zum Basiswechsel fällt dieser ja sowieso weg.
Offensichtlich nicht. [mm] e_3 [/mm] z.B. wird nicht auf den Nullvektor abgebildet, und das wirst Du noch bei vielen anderen Vektoren feststellen.
Ich hab' doch gesagt: Kern bestimmen!
> Diese Struktur macht auch den dritten Spaltenvektor der
> Abbildungsvorschrift eigentlich! überflüssig. (Natürlich
> brauch ich den trotzdem damit ich die Abbildungsvorschrift
> mit einem Vektor x auf dem [mm]\IR^3[/mm] multiplizieren kann.
Nein, Du brauchst ihn nicht in erster Linie zum Multiplizieren, sondern weil die Abbildung nun mal aus dem [mm] \IR^3 [/mm] abbildet.
Gruß v. Angela
>
> Aber ich sitze schon so lange daran und irgendwie bin ich
> in dieser Sicht so verfangen, dass ich es für richtig
> halte (trotz meines nicht vorhandenen Verständnises für
> Mathematik).
>
> Gruss, Piezke
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Piezke |
Hallo Angela,
ich hoffe meinen Fehler nun verstanden zu haben.
Der war anscheinend, dass ich nicht beachtet habe, dass der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] nicht auf dem Nullvektor abgebildet wird.
Nun gilt es für mich einen Vektor zu finden, der die beiden Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] zu einer Basis ergänzt UND auf dem Nullvektor abgebildet wird.
Seien [mm] c_1, c_2, c_3 [/mm] die Komponenten des gesuchten Vektors.
[mm] 0*c_1 [/mm] + [mm] 2*c_2 [/mm] + [mm] 3*c_3 [/mm] = 0
[mm] 4*c_1 [/mm] + [mm] 5*c_2 [/mm] + [mm] 6*c_3 [/mm] = 0
=> für [mm] c_3 [/mm] = 1: [mm] c_1=\bruch{3}{8}c_3 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2}c_3
[/mm]
[mm] Ker\varphi= \vektor{ \bruch{3}{8}c_3 \\ -\bruch{3}{2}c_3 \\c_3} [/mm] mit [mm] x_1,x_2,x_3 \varepsilon \IR [/mm]
Jetzt muss ich noch überprüfen ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind und somit eine Basis bilden.
[mm] \lambda [/mm] * [mm] a_1 [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] b_1 [/mm] + [mm] \nu* c_1 [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] * [mm] a_2 [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] b_2 [/mm] + [mm] \nu* c_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] * [mm] a_3 [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] b_3 [/mm] + [mm] \nu* c_3 [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] * 1 + [mm] \mu [/mm] * 0 + [mm] \nu* \bruch{3}{8} [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] * 0 + [mm] \mu [/mm] * 1 + [mm] \nu* -\bruch{3}{2} [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] * 0 + [mm] \mu [/mm] * 0 + [mm] \nu* [/mm] 1 = 0
[mm] \lambda [/mm] + [mm] \nu* \bruch{3}{8}= [/mm] 0
[mm] \mu [/mm] + [mm] \nu* -\bruch{3}{2}= [/mm] 0
[mm] \nu [/mm] = 0
=> Die Vektoren sind linear unabhängig und bilden eine Basis im [mm] \IR^3.
[/mm]
Dann folgt die Prozedur wie ich sie oben (gestern) schon durchgeführt habe und erhalte die Basis [mm] {\vektor{0 \\ 4}, \vektor{2 \\ 5}} [/mm] des [mm] \IR^2.
[/mm]
Auf die gesuchte Basis im [mm] \IR^2 [/mm] hat dies also keine Auswirkung.
Aber hätte der dritte Basisvektor des [mm] \IR^3 [/mm] eine Auswirkung auf die beiden anderen Basisvektoren des [mm] \IR^3 [/mm] (linear abhängig) so müsste ich diese beiden anders wählen. Dies würde sich wiederum auf die Basisvektoren im [mm] \IR^2 [/mm] auswirken.
Ist das so korrekt ? (ich hoffe es ist verständlich was ich meine)
Noch eine wichtige Frage:
Muss der dritte Basisvektor auf dem Nullvektor abgebildet werden weil es sich um den Übergang vom [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] handelt oder liegt der Grund dafür einfach in der Beschaffenheit der Basiswechselmatrix ?
Vielen Dank für deine Hilfe.
Gruß, Piezke
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> Auf die gesuchte Basis im [mm]\IR^2[/mm] hat dies also keine
> Auswirkung.
> Aber hätte der dritte Basisvektor des [mm]\IR^3[/mm] eine
> Auswirkung auf die beiden anderen Basisvektoren des [mm]\IR^3[/mm]
> (linear abhängig) so müsste ich diese beiden anders
> wählen. Dies würde sich wiederum auf die Basisvektoren im
> [mm]\IR^2[/mm] auswirken.
>
> Ist das so korrekt ? (ich hoffe es ist verständlich was
> ich meine)
Hallo,
Du hast jetzt auf jeden Fall zwei Basen des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2, [/mm] die das Gewünschte tun, nämlich ist die Darstellungsmatrix Deiner Abbildung bezgl dieser Basen die Matrix $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm] $.
Insofern ist der Aufgabenstellung vollständig Genüge getan.
Ich bin mir bloß nicht ganz sicher, ob Du verstanden hast, was hier getan bzw. gesucht wird, oder ob Du mehr oder weniger aufgrund glücklicher Zufälle zum Ziel gekommen bist.
Wenn die Matrix die Gestalt $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm] $ haben soll, bedeutet das, daß die ersten beiden Vektoren der Basis des Startraumes auf eine Basis des Bildes abgebildet werden müssen, der dritte Basisvektor muß aus dem Kern kommen, und mit dieser Erkenntnis steht der dann Plan fürs weitere Vorgehen.
Was mir noch aufgefallen ist: Du hattest Deine Basis [mm] C=(c_1, c_2) [/mm] und Vektoren [mm] b_1, b_2 [/mm] mit [mm] \varphi(b_1)=c_1 [/mm] und [mm] \varphi(b_2)=c_2.
[/mm]
Dann hast Du mit einem Kernvektor [mm] b_3 [/mm] ergänzt, und die lineare Unabhängigkeit der [mm] b_i [/mm] geprüft - was kein Fehler ist, lieber macht man mal zu viel als zu wenig.
Aber die drei Vektoren können schon aufgrund ihrer Konstruktion nicht abhängig sein, sonst gäbe es nämlich eine nichttriviale Linearkombination der [mm] c_i, [/mm] die Null ergibt.
> Noch eine wichtige Frage:
> Muss der dritte Basisvektor auf dem Nullvektor abgebildet
> werden weil es sich um den Übergang vom [mm]\IR^3[/mm] in den [mm]\IR^2[/mm]
> handelt oder liegt der Grund dafür einfach in der
> Beschaffenheit der Basiswechselmatrix ?
Basiswechselmatrizen haben wir ja nicht angeschut hier, jedenfalls nicht bewußt.
Der Grund liegt in der Forderung, daß die Darstellungsmatrix die Gestalt $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm] $ haben soll.
Wäre $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1} [/mm] $ gefordert gewesen, hätten wir uns was anderes einfallen lassen müssen.
Wir hätten dann eine Basis [mm] (b_1, b_2, b_3) [/mm] und [mm] C=(c_1, c_2) [/mm] gesucht mit
[mm] \varphi(b_i)=c_i [/mm] für i=1,2 und [mm] \varphi(b_3)=c_1+c_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Vielen Dank für deine Hilfe.
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> Gruß, Piezke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Do 04.02.2010 | | Autor: | Piezke |
Hallo Angela.
Langsam ernährt nicht das Eichhörnchen.
Ich bin der Meinung 'fast' alles verstanden zu haben. Manche Fragen stelle ich um sicher zu gehn, nicht wieder voreilige Schlüsse gezogen zu haben.
Aber ich muss muss mir noch einmal selbst was konstruieren und alle mögliche Schritte/Zusammenhänge damit durchgehen.
Viele Fragen ergeben sich ja erst wenn man auf die Probleme stößt.
Dann werde ich das mal in den Matheraum stellen und dazu schreiben was ich mir bei meinem Vorgehen gedacht habe - in der Hoffnung, dass jemand schreibt: "alles korrekt".
Eigentlich ist alles ganz einfach und logisch. Trotzdem merke ich, dass ich noch ein paar Lücken schließen muss um mir sicher zu sein ein komplettes Bild der Thematik zu haben.
Vielen vielen vielen lieben Dank für deine Hilfe.
lg
Piezke
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