Lin. Abbildung / Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Di 02.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab mal grad eine Frage zum Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen.
Also ich weiß, dass eine Matrix eine lineare Abbildung beschreibt.
Aber wie ist das mit den Begriffen
Kern / Bild / Rang / Determinante / Eiegnwert / Eigenvektor?
Nehmen die für eine lineare Abbildung und die zugehörige Matrix die gleichen Werte an?
Bzw. kann man die Begriffe gleichsetzen?
Also "Kern einer Abbildung" = "Kern der zugehörigen Matrix" ,
Eigenwerte von Abbildung f sind die Eigenwerte der zugehörigen Matrix,
usw. ?
Ändern sich die Werte von Kern, Determinante, Eigenvektor usw. wenn man einen Basiswechsel durchführt und dann eine andere Matrix hat?
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Di 02.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Nadine,
> Also ich weiß, dass eine Matrix eine lineare Abbildung
> beschreibt.
Sei also A eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix mit Koeffizienten in einem Körper K und [mm] $f:V\to [/mm] W$ eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W, so dass A die Matrix zu f bezüglich gewissen Basen B von V und C von W ist. Diese Situation möchte ich im Folgenden den "allgemeinen Fall" nennen. Unter dem "speziellen Fall" möchte ich verstehen, dass f die lineare Abbildung [mm] $f:K^n\to K^m,v\mapsto [/mm] A*v$ ist (das ist der Fall, wenn [mm] $V=K^n$,$W=K^m$ [/mm] gilt und B und C die Standardbasen dieser Vektorräume sind).
> Aber wie ist das mit den Begriffen
>
> Kern
Im allgemeinen Fall ist der Kern von A ein Unterraum des [mm] $K^n$, [/mm] der Kern von f dagegen ein Unterraum von V. Also können sie i.A. nicht gleich sein. Die beiden Kerne entsprechen einander jedoch unter dem Isomorphismus [mm] $V\to K^n$, [/mm] der Vektoren aus V den dazugehörigen Koordinatenspaltenvektor bezüglich B zuordnet. Im speziellen Fall stimmen die Kerne von f und A dagegen in der Tat überein.
> / Bild
Analog: Im allgemeinen Fall ist das Bild von A ein Unterraum des [mm] $K^m$, [/mm] der Kern von f dagegen ein Unterraum von W. Also können sie i.A. nicht gleich sein. Die beiden Kerne entsprechen einander jedoch unter dem Isomorphismus [mm] $W\to K^m$, [/mm] der Vektoren aus W den dazugehörigen Koordinatenspaltenvektor bezüglich C zuordnet. Im speziellen Fall stimmen die Bilder von f und A dagegen in der Tat überein.
> / Rang
Der stimmt für A und f überein.
Die folgenden Begriffe sind nur für quadratische Matrizen bzw. Endomorphismen erklärt. Sei daher nun $m=n$ und $V=W$.
> / Determinante
Im Falle $B=C$ wird die Determinante von f üblicherweise gerade als die Determinante von A definiert (und die Wohldefiniertheit nachgewiesen). Im Falle [mm] $B\not=C$ [/mm] stimmen die Determinanten von f und A dagegen i.A. nicht überein.
> / Eiegnwert /
Auch hier: Die Eigenwerte stimmen im Falle $B=C$ überein, im Falle [mm] $B\not=C$ [/mm] i.A. nicht.
> Eigenvektor?
Ähnlich zum Falle von Kern und Bild: Eigenvektoren von f sind im allgemeinen Fall Vektoren von V, Eigenvektoren von A dagegen Vektoren des [mm] $K^n$. [/mm] Also kann i.A. keine Übereinstimmung gelten. Immerhin entsprechen die Eigenvektoren von f im Falle $B=C$ denen von A unter dem Isomorphismus [mm] $V\to K^n$, [/mm] der Vektoren aus V den dazugehörigen Koordinatenspaltenvektor bezüglich B zuordnet. Im speziellen Fall dagegen stimmen die Eigenvektoren überein.
> Ändern sich die Werte von Kern, Determinante, Eigenvektor
> usw. wenn man einen Basiswechsel durchführt und dann eine
> andere Matrix hat?
Von den von dir genannten Objekten ist nur der Rang invariant unter beliebigen Basiswechseln. Determinanten und Eigenwerte sind immerhin noch invariant unter Ähnlichkeit (d.h. unter Basiswechseln, "unter denen vor und nach Basiswechsel $B=C$ gilt"). Kerne, Bilder und Eigenvektoren sind dagegen i.A. nicht mal unter diesen speziellen Basiswechseln invariant.
Alle genannten Invarianzen folgen direkt daraus, dass die entsprechenden Objekte (ggf. im Falle $B=C$) für f und A übereinstimmen.
Falls du an irgendeinem Beweis interessiert bist, frag einfach nach!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 04.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Tobias!
Danke für deine Antwort.
> Im allgemeinen Fall ist der Kern von A ein Unterraum des
> [mm]K^n[/mm], der Kern von f dagegen ein Unterraum von V. Also
> können sie i.A. nicht gleich sein. Die beiden Kerne
> entsprechen einander jedoch unter dem Isomorphismus [mm]V\to K^n[/mm],
> der Vektoren aus V den dazugehörigen
> Koordinatenspaltenvektor bezüglich B zuordnet. Im
> speziellen Fall stimmen die Kerne von f und A dagegen in
> der Tat überein.
Was meinst du genau mit "die beiden Kerne entsprechen einander"?
Heißt das, sie sind gleich, wenn wenn ich die Vektoren aus V bzgl ihrer Basis B als Koordinatenvektor des [mm] K^n [/mm] darstelle?
Oder gilt das mit der Gleichheit erst dann, wenn ich die Vektoren bzgl. Standard-Basis darstelle?
Kann ich also zusammenfassend sagen, dass wenn der spezielle Fall vorliegt, dass dann alle Begriffe für die Matrix und für die Abbildung gleich sind, also das gleiche Ergebnis liefern?
Und das sie nicht mehr gleich sind, wenn ich im allgemeinen Fall bin?
LG Nadine
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Hallo!
> Hallo Tobias!
>
> Danke für deine Antwort.
>
> > Im allgemeinen Fall ist der Kern von A ein Unterraum des
> > [mm]K^n[/mm], der Kern von f dagegen ein Unterraum von V. Also
> > können sie i.A. nicht gleich sein. Die beiden Kerne
> > entsprechen einander jedoch unter dem Isomorphismus [mm]V\to K^n[/mm],
> > der Vektoren aus V den dazugehörigen
> > Koordinatenspaltenvektor bezüglich B zuordnet. Im
> > speziellen Fall stimmen die Kerne von f und A dagegen in
> > der Tat überein.
>
> Was meinst du genau mit "die beiden Kerne entsprechen
> einander"?
> Heißt das, sie sind gleich, wenn wenn ich die Vektoren
> aus V bzgl ihrer Basis B als Koordinatenvektor des [mm]K^n[/mm]
> darstelle?
Ja, bzgl. der Standardbasis des [mm] K^{n} [/mm] bzw. bezgl. der Basis des [mm] K^{n}, [/mm] mit welcher du auch die Kerne usw. der Matrix bestimmt hast und in welcher sie jetzt vorliegen (normalerweise ist das aber die Standardbasis).
> Oder gilt das mit der Gleichheit erst dann, wenn ich die
> Vektoren bzgl. Standard-Basis darstelle?
Wenn du im [mm] K^{n} [/mm] mit Matrizen rechnest, rechnest du üblicherweise in der Standard-Basis des [mm] K^{n}.
[/mm]
Und auch der Isomorphismus [mm] V\to K^{n} [/mm] ist ja üblicherweise der "kanonische Basisisomorphismus", der die Basisvektoren von V auf die Standardbasis des [mm] K^{n} [/mm] abbildet.
D.h.: Es muss nicht die Standardbasis des [mm] K^{n} [/mm] sein, in der du rechnest, aber alles andere macht mehr Arbeit.
> Kann ich also zusammenfassend sagen, dass wenn der
> spezielle Fall vorliegt, dass dann alle Begriffe für die
> Matrix und für die Abbildung gleich sind, also das gleiche
> Ergebnis liefern?
Wenn der "spezielle Fall" der ist, dass deine lineare Abbildung eine im [mm] K^{n} [/mm] ist, dann ja.
> Und das sie nicht mehr gleich sind, wenn ich im allgemeinen
> Fall bin?
Genau, wenn die lineare Abbildung zwischen anderen VR als dem [mm] K^{n} [/mm] besteht.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 04.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Stefan!
> > Was meinst du genau mit "die beiden Kerne entsprechen
> > einander"?
> > Heißt das, sie sind gleich, wenn wenn ich die Vektoren
> > aus V bzgl ihrer Basis B als Koordinatenvektor des [mm]K^n[/mm]
> > darstelle?
>
> Ja, bzgl. der Standardbasis des [mm]K^{n}[/mm] bzw. bezgl. der Basis
> des [mm]K^{n},[/mm] mit welcher du auch die Kerne usw. der Matrix
> bestimmt hast und in welcher sie jetzt vorliegen
> (normalerweise ist das aber die Standardbasis).
Heißt das, wenn Matrix und Abbildung bzgl. der gleichen Basis dargestellt sind, dass dann Kern/Bild usw. gleich sind?
Aber irgendwie versteh ich das nicht so ganz.
Die Matrix entsteht doch abhängig von den Basen, die ich in den Vektorräumen wähle. Was ist dann die Basis der Matrix?
Können Matrix und Abbildung überhaupt die gleiche Bais haben? Eine Abbildung hat ja zwei Basen, eine für V und eine für W, aber eine Matrix hat doch immer nur eine Basis oder nicht?
Also irgendwie blick ich da überhaupt nicht durch.
Woher weiß ich z.B. in welcher Basis eine Matrix vorliegt?
Aber kann ich erstmal sagen, dass wenn alles in Standard-Basis vorliegt, dass dann Kern/Bild usw einer Abbildung gleich Kern/Bild usw. der zugehörigen Matrix ist?
LG Nadine
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Hallo,
> Hallo Stefan!
>
> > > Was meinst du genau mit "die beiden Kerne entsprechen
> > > einander"?
> > > Heißt das, sie sind gleich, wenn wenn ich die
> Vektoren
> > > aus V bzgl ihrer Basis B als Koordinatenvektor des [mm]K^n[/mm]
> > > darstelle?
> >
> > Ja, bzgl. der Standardbasis des [mm]K^{n}[/mm] bzw. bezgl. der Basis
> > des [mm]K^{n},[/mm] mit welcher du auch die Kerne usw. der Matrix
> > bestimmt hast und in welcher sie jetzt vorliegen
> > (normalerweise ist das aber die Standardbasis).
>
> Heißt das, wenn Matrix und Abbildung bzgl. der gleichen
> Basis dargestellt sind, dass dann Kern/Bild usw. gleich
> sind?
Achtung: Eventuell eine unglückliche Formulierung meinerseits: Eine Abbildung geht von einem Vektorraum in einen anderen, und die Abbildung kann basisunabhängig angegeben werden!
Im Polynomraum mit Polynomen vom Grad [mm] \le [/mm] 3 ist zum Beispiel die Ableitung eine lineare Abbildung. Habe ich irgendwo angegeben, bzgl. welcher Basis? Nein.
> Aber irgendwie versteh ich das nicht so ganz.
>
> Die Matrix entsteht doch abhängig von den Basen, die ich
> in den Vektorräumen wähle. Was ist dann die Basis der
> Matrix?
Achtung: Genau umgekehrt: Eine lineare Abbildung [mm] f:U\to [/mm] W ist unabhängig von den Basen der jeweiligen Vektorräume U und W, will ich aber eine Abbildungsmatrix der linearen Abbildung erstellen, brauche ich auf jeden Fall konkrete vorgegebene Basen von U und W.
Obiges Beispiel mit der Ableitung: Die Abbildung lassen wir vom Polynomraum [mm] \IR[x] [/mm] mit Polynomen vom Grad [mm] \le [/mm] 3 in sich selbst gehen.
Also:
[mm] $f:\IR_{3}[x]\to\IR_{3}[x], p\mapsto [/mm] p'$.
Eine Basis des Polynomraums [mm] \IR_{3}[x] [/mm] ist z.B. [mm] B:=(1,x,x^2,x^3), [/mm] wir benutzen die Basis sowohl für Urbild- als auch für den Bildraum.
Und erst jetzt macht doch der Merksatz für die Abbildungsmatrix Sinn: "Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Koordinatenvektoren bzgl. der Basis von W der Bilder der Basisvektoren von U".
[mm] f\left(\vektor{1\\0\\0\\0}_{B}\right) [/mm] = f(1) = 0 = [mm] \vektor{0\\0\\0\\0}_{B}
[/mm]
[mm] f\left(\vektor{0\\1\\0\\0}_{B}\right) [/mm] = f(x) = 1 = [mm] \vektor{1\\0\\0\\0}_{B}
[/mm]
[mm] f\left(\vektor{0\\0\\1\\0}_{B}\right) [/mm] = [mm] f(x^2) [/mm] = 2x = [mm] \vektor{0\\2\\0\\0}_{B}
[/mm]
[mm] f\left(\vektor{0\\0\\0\\1}_{B}\right) [/mm] = [mm] f(x^3) [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\3\\0}_{B}
[/mm]
Also ist die Abbildungsmatrix:
[mm] \pmat{0 & 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 &0}
[/mm]
Und diese bildet jetzt eben nur Vektoren vom [mm] $\IR^4$ [/mm] zum [mm] $\IR^{4}$, [/mm] obwohl der ursprüngliche Vektorraum ein Polynomraum ist! Die Matrix von f haben wir jetzt bzgl. der Basis B aufgestellt.
> Woher weiß ich z.B. in welcher Basis eine Matrix
> vorliegt?
Das muss dir ganz klar gesagt sein, z.B.: Die vorliegende Abbildungsmatrix der linearen Abbildung f ist bzgl. der Basen B und C gegeben.
> Aber kann ich erstmal sagen, dass wenn alles in
> Standard-Basis vorliegt, dass dann Kern/Bild usw einer
> Abbildung gleich Kern/Bild usw. der zugehörigen Matrix
> ist?
Ja, wenn du eine Abbildung f von [mm] K^{n} [/mm] nach [mm] K^{m} [/mm] gegeben hast, und auch die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Standardbasen der jeweiligen Räume gegeben ist, dann stimmen Bild und Kern überein.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Do 04.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Heißt das, wenn Matrix und Abbildung bzgl. der gleichen
> Basis dargestellt sind, dass dann Kern/Bild usw. gleich
> sind?
Was meinst du damit, dass eine Matrix bezüglich einer Basis dargestellt wird?
(Eine Matrix A kann die Darstellung einer linearen Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] W$ bezüglich gewisser Basen B und C von V und W sein.)
> Die Matrix entsteht doch abhängig von den Basen, die ich
> in den Vektorräumen wähle.
Ja.
> Was ist dann die Basis der Matrix?
Einen Begriff "Basis einer Matrix" kenne ich gar nicht.
> Können Matrix und Abbildung überhaupt die gleiche Bais
> haben? Eine Abbildung hat ja zwei Basen, eine für V und
> eine für W, aber eine Matrix hat doch immer nur eine Basis
> oder nicht?
Wie Stefan ausführlich erläutert hat: Weder Matrizen noch lineare Abbildungen haben eine Basis.
> Woher weiß ich z.B. in welcher Basis eine Matrix
> vorliegt?
>
> Aber kann ich erstmal sagen, dass wenn alles in
> Standard-Basis vorliegt, dass dann Kern/Bild usw einer
> Abbildung gleich Kern/Bild usw. der zugehörigen Matrix
> ist?
Siehe Stefans Antwort.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Do 04.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
> > Kann ich also zusammenfassend sagen, dass wenn der
> > spezielle Fall vorliegt, dass dann alle Begriffe für die
> > Matrix und für die Abbildung gleich sind, also das gleiche
> > Ergebnis liefern?
>
> Wenn der "spezielle Fall" der ist, dass deine lineare
> Abbildung eine im [mm]K^{n}[/mm] ist, dann ja.
Die Bezeichnung "spezieller Fall" habe ich zu Beginn meiner ersten Antwort zur Abkürzung für den Fall eingeführt, dass f eine lineare Abbildung [mm] $f:K^n\to K^m$ [/mm] und A die dazugehörige Matrix bezüglich der Standardbasen ist. Alleine aus [mm] $f:K^n\to K^m$ [/mm] würde nicht folgen, dass die Kerne von f und A übereinstimmen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Do 04.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Was meinst du genau mit "die beiden Kerne entsprechen
> einander"?
Zugegebenermaßen habe ich nicht erklärt, was ich damit eigentlich meine. Gemeint war:
Wenn [mm] $\Phi:V\to K^n$ [/mm] der Isomorphismus ist, der jedem Vektor aus V den dazugehörigen Koordinatenvektor bezüglich der Basis B zuordnet, so gilt für beliebige Vektoren [mm] $v\in [/mm] V$: [mm] $v\in\operatorname{Kern}(f)\gdw\Phi(v)\in\operatorname{Kern}(A)$.
[/mm]
In Worten: Vektoren aus V sind genau dann im Kern von f, wenn die bezüglich [mm] $\Phi$ [/mm] entsprechenden Vektoren des [mm] $K^n$ [/mm] (also die entsprechenden Koordinatenvektoren bezüglich B) im Kern von A sind.
> Heißt das, sie sind gleich, wenn wenn ich die Vektoren
> aus V bzgl ihrer Basis B als Koordinatenvektor des [mm]K^n[/mm]
> darstelle?
Die Kerne sind i.A. nicht wirklich gleich: In Stefans Beispiel besteht der Kern von f aus gewissen Polynomen, der Kern einer dazugehörigen Matrix A dagegen aus Vektoren des [mm] $\IR^4$.
[/mm]
Aber der Kern von A besteht aus den Koordinatenvektoren bezüglich B der Vektoren des Kerns von f.
> Oder gilt das mit der Gleichheit erst dann, wenn ich die
> Vektoren bzgl. Standard-Basis darstelle?
In beliebigen Vektorräumen V gibt es gar keine Standardbasis!
(Falls V der [mm] $K^n$ [/mm] ist, stimmen die Kerne von f und A überein, wenn B die Standardbasis ist, i.A. jedoch nicht.)
> Kann ich also zusammenfassend sagen, dass wenn der
> spezielle Fall vorliegt, dass dann alle Begriffe für die
> Matrix und für die Abbildung gleich sind, also das gleiche
> Ergebnis liefern?
Ja (zumindest alle von dir genannten Begriffe).
> Und das sie nicht mehr gleich sind, wenn ich im allgemeinen
> Fall bin?
Dann stimmt immer noch der Rang von A und f überein. Und: Wenn man von Determinante, Eigenvektoren oder Eigenwerten von f spricht, ist f also ein Endomorphismus und üblicherweise wählt man $B=C$. In diesem Fall stimmen auch Determinante und Eigenwerte (i.A. jedoch nicht Eigenvektoren) von f und A überein.
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