Lin. Abbildung beweis. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f1: {g: R->R} -> R; g->g(1)
f2: [mm] \IZ_{2} [/mm] -> [mm] \IZ_{2}; [/mm] x-> [mm] x^2
[/mm]
f3: [mm] \IZ_{5} [/mm] -> [mm] \IZ_{5}; [/mm] x-> [mm] x^5
[/mm]
ex eine [mm] \IZ_{7} [/mm] lin. Abb. für [mm] \IZ_{7}^3-> \IZ_{7} [/mm] mit [mm] F\vektor{3 \\ 5 \\ 2}= [/mm] 3, [mm] F\vektor{2 \\ 1\\6}=4 [/mm] ? |
Okay, habe hier 12 Aufgaben zu zeigen ob es sich bei diesen Aufgaben um lin. Abbildungen handelt oder nicht. Und bei denen hier komme ich nicht weiter.
Ich weiß, dass ich einfach nur die Axiome bezüglich der Addition und Multiplikation überprüfen muss.
Bei f2,f3 bräuchte ich eine Hilfestellung weil ich nicht weiß, wass ich mit den [mm] Z_2 [/mm] machen soll.
Das haben wir in der VO nicht gemacht, aber so wie ich es verstehe handelt es sich einfach um eine Menge mit allen Zahlen, die x mod2 =0 erfüllen?
Muss ich dann für den Beweis auf irgendwas aufpassen?
Wenn das so passt dann wäre f1 keine lin. Abb., da f(1+1) != f(1)+f(1)
Bei f1, habe ich mir vorgestellt, dass die linke Seite ja nur die Menge von R ist und dann praktisch von g(x€R) auf eins abbilde?
Bei der letzen habe ich überhaupt keine Idee, bzw weiß nicht mal was überhaupt gefragt ist. Oder was [mm] \IZ_{7}^3 [/mm] bedeuted....
Oder ist das jetzt einfach der 3D-Raum der die Bedingung x mod 7=0 erfüllt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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f1 ist bestimmt keine lineare Abbildung: das ist ja die Menge aller Funktionen g (aus Analysis 1) im Punkt g(1), aber es gibt unzählige Funktionen, die im Punkt g(1) weiß der Kuckuck welchen Wert haben, aber in g(0) [mm] \not= [/mm] 0 sind, also ist das Axiom f(0)=0 verletzt.
f2 ist auf jeden Fall eine lineare Abbildung: Als Bild- und als Urbildpunkte gibt es nur die 0 und die 1: die Abbildungsvorschrift ist die x². Also systematisch ausprobieren und sehen, dass (oh Wunder) kein Axiom verletzt ist:
ERSTENS:
f(0)=0, weil 0²=0 und f(1)=1, weil 1²=1 und
ZWEITENS:
1*f(0)=1*0=0 und f(1*0)=f(0)=0
0*f(0)=0*0=0 und f(0*0)=0
1*f(1)=1*1=1 und f(1*0)=f(0)=0
0*f(1)=0*1=0 und f(0*1)=f(0)=0
Insgesamt ist damit gezeigt: [mm] f(\Lambda*a)=\Lambda*f(a)
[/mm]
Jetzt bleibt noch zu zeigen: f(a+b)=f(a)+f(b)
Wegen der Kommutativität der Summe brauchen wir, weil ja nur 2 Urbild- und Bildpunkte existieren, wegen der Kommutativität der Summe, nur ein einziges Beispiel zur Überprüfung:
"=>"
f(0+1)=f(1)=1²=1
"<="
f(0)+f(1)=0²+1²=0+1=1, also dasselbe Ergebnis wie bei "=>"
Also ist das auf jeden Fall eine lineare Abbildung.
f3 ist auf gar keinen Fall eine lineare Abbildung. Urbild- und Bildpunkte sind nur {0,1,2,3,4} und es gilt:
"=>"
f(4)=4²=16 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5, also f(4)=1
"<="
f(2*2)=2*f(2)=2*f(2)=2*2²*2*4=8 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 5, also 2*f(2)=3
Und 3 ist ja nicht 1, also keine lineare Abbildung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:38 Sa 05.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mister_xyz!
> f1 ist bestimmt keine lineare Abbildung:
Wie Sax schon schrieb: Doch.
> das ist ja die
> Menge aller Funktionen g (aus Analysis 1) im Punkt g(1),
> aber es gibt unzählige Funktionen, die im Punkt g(1) weiß
> der Kuckuck welchen Wert haben, aber in g(0) [mm]\not=[/mm] 0 sind,
Das ändert nichts an der Linearität von [mm] $f_1$.
[/mm]
> also ist das Axiom f(0)=0 verletzt.
(Üblicherweise formuliert man $f(0)=0$ nicht als Axiom für Linearität einer Abbildung $f$, sondern folgert dies aus den Axiomen.)
[mm] $f_1(0)=0$ [/mm] ist nicht verletzt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Fr 04.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
Sorry, ich hab vergessen zu sagen, worauf sich das bezieht:
f1 ist bestimmt keine lineare Abbildung: das ist ja die Menge aller Funktionen g (aus Analysis 1) im Punkt g(1), aber es gibt unzählige Funktionen, die im Punkt g(1) weiß der Kuckuck welchen Wert haben, aber in g(0) $ [mm] \not= [/mm] $ 0 sind, also ist das Axiom f(0)=0 verletzt.
f2 ist auf jeden Fall eine lineare Abbildung: Als Bild- und als Urbildpunkte gibt es nur die 0 und die 1: die Abbildungsvorschrift ist die x². Also systematisch ausprobieren und sehen, dass (oh Wunder) kein Axiom verletzt ist:
ERSTENS:
f(0)=0, weil 0²=0 und f(1)=1, weil 1²=1 und
ZWEITENS:
1*f(0)=1*0=0 und f(1*0)=f(0)=0
0*f(0)=0*0=0 und f(0*0)=0
1*f(1)=1*1=1 und f(1*0)=f(0)=0
0*f(1)=0*1=0 und f(0*1)=f(0)=0
Insgesamt ist damit gezeigt: $ [mm] f(\Lambda\cdot{}a)=\Lambda\cdot{}f(a) [/mm] $
Jetzt bleibt noch zu zeigen: f(a+b)=f(a)+f(b)
Wegen der Kommutativität der Summe brauchen wir, weil ja nur 2 Urbild- und Bildpunkte existieren, wegen der Kommutativität der Summe, nur ein einziges Beispiel zur Überprüfung:
"=>"
f(0+1)=f(1)=1²=1
"<="
f(0)+f(1)=0²+1²=0+1=1, also dasselbe Ergebnis wie bei "=>"
Also ist das auf jeden Fall eine lineare Abbildung.
f3 ist auf gar keinen Fall eine lineare Abbildung. Urbild- und Bildpunkte sind nur {0,1,2,3,4} und es gilt:
"=>"
f(4)=4²=16 $ [mm] \equiv [/mm] $ 1 mod 5, also f(4)=1
"<="
f(2*2)=2*f(2)=2*f(2)=2*2²*2*4=8 $ [mm] \equiv [/mm] $ 3 mod 5, also 2*f(2)=3
Und 3 ist ja nicht 1, also keine lineare Abbildung.
Beim letzten bin ich mir nicht ganz sicher, aber ich würde zu 90% sagen, es ist keine lineare Abbildung, allein schon deshalb, weil die Urbilder linear unabhängig sind. Sie haben gefragt, was [mm] \IZ [/mm] oben 3 und unten 7 bedeutet: Ganz einfach: Hier ist eine Abbildung von [mm] \IZ^3 [/mm] nach [mm] \IZ, [/mm] also aus einem 3er Vektor wird auf eine ganze Zahl abgebildet: Wichtig ist, dass sowohl im 3er Vektor (=Urbild), als auch im Bild (also [mm] \IZ) [/mm] (eine Zahl), beides mal nur Werte aus {0,1,2,3,4,5,6} eingesetzt und rauskommen dürfen. Sowas Ähnliches kennen Sie wahrscheinlich aus der Schule (Skalarprodukt)......aber zurück zum Thema: Ich glaube keine lineare Abbildung, weil die Urbildvektoren linear abhängig sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Fr 04.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> f1: {g: R->R} -> R; g->g(1)
> f2: [mm]\IZ_{2}[/mm] -> [mm]\IZ_{2};[/mm] x-> [mm]x^2[/mm]
> f3: [mm]\IZ_{5}[/mm] -> [mm]\IZ_{5};[/mm] x-> [mm]x^5[/mm]
>
> ex eine [mm]\IZ_{7}[/mm] lin. Abb. für [mm]\IZ_{7}^3-> \IZ_{7}[/mm] mit
> [mm]F\vektor{3 \\ 5 \\ 2}=[/mm] 3, [mm]F\vektor{2 \\ 1\\6}=4[/mm] ?
> Okay, habe hier 12 Aufgaben zu zeigen ob es sich bei
> diesen Aufgaben um lin. Abbildungen handelt oder nicht. Und
> bei denen hier komme ich nicht weiter.
>
> Ich weiß, dass ich einfach nur die Axiome bezüglich der
> Addition und Multiplikation überprüfen muss.
>
> Bei f2,f3 bräuchte ich eine Hilfestellung weil ich nicht
> weiß, wass ich mit den [mm]Z_2[/mm] machen soll.
> Das haben wir in der VO nicht gemacht, aber so wie ich es
> verstehe handelt es sich einfach um eine Menge mit allen
> Zahlen, die x mod2 =0 erfüllen?
Nein.
Es handelt sich um Restklassenkörper (Körper deshalb, weil 2, 5 und 7 Primzahlen sind). Man rechnet mit diesen Klassen, indem man mit irgendwelchen Repräsentanten dieser Klassen wie gewohnt rechnet und zum Schluss den Rest der Division durch 2 (bzw. 5 bzw. 7) nimmt.
Du kannst leicht nachprüfen, dass [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] jeweils die identische Abbildung sind.
> Muss ich dann für den Beweis auf irgendwas aufpassen?
Man muss immer aufpassen !
> Wenn das so passt dann wäre f1 keine lin. Abb., da f(1+1)
> != f(1)+f(1)
Ich weiß nicht, welche Funktion du hier mit 1 bezeichnest, aber auf jeden Fall ist [mm] f_1(1+1)=(1+1)(1)=[Definition [/mm] der Addition von [mm] Funktionen]1(1)+1(1)=f_1(1)+f_1(1).
[/mm]
Wenn dich das jetzt verwirrt hat, dann deshalb, weil du nicht verstanden hast, welches eigentlich der Definitions- und der Wertebereich von [mm] f_1 [/mm] ist.
[mm] f_1 [/mm] ist linear.
Du hast oben geschrieben, dass das Nachprüfen der Definition der Linearität zu erfolgen hat. Das stimmt. Du hast weiter geschrieben, dass das einfach sei (das kommt auf den Grad der Übung an, den man durch das Lösen solcher Aufgaben erworben hat). Dann mach es !
>
> Bei f1, habe ich mir vorgestellt, dass die linke Seite ja
> nur die Menge von R ist und dann praktisch von g(x€R) auf
> eins abbilde?
Diese Vorstellung kann ich leider überhaupt nicht nachvollziehen.
>
> Bei der letzen habe ich überhaupt keine Idee, bzw weiß
> nicht mal was überhaupt gefragt ist. Oder was [mm]\IZ_{7}^3[/mm]
> bedeuted....
> Oder ist das jetzt einfach der 3D-Raum der die Bedingung x
> mod 7=0 erfüllt?
>
Es ist der dreidimensionale Vektorraum [mm] k^3, [/mm] wobei K der Körper [mm] \IZ_7 [/mm] ist (s.o.).
Überlege dir, was [mm] 3*\vektor{3 \\ 5 \\ 2} [/mm] ist und was man daraus folgern kann.
Gruß Sax.
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Okay, ich antworte einfach mal, hier da ich nicht weiß wo ich das einhängen soll.
@mister_xyz, bzw @all
Ich kann deiner Argumentation von f1 überhaupt nicht folgen.
Mich würde schon freuen wenn ich wüsste was die Angabe dazu überhaupt bedeuted. Wenn ich mir das als Mengen aufzeiche, dann habe ich doch nur eine von R->R und dann eine Funktion die von (R->R) auf ->R abbildet. Wobei vom Urbild immer auf 1 abgebildet wird?
zu f2:
D.h da sind in beiden Mengen nur die 0 und 1 drin, weil drunter eine zwei(n) steht und deshalb von 0 bis n zählt? Heißt dass, wenn ich mit [mm] x^2 [/mm] > 1 komme, es keine lin, Abb. ist?
Dann überprüfe ich halt mal:
f(x+y)= [mm] f((x+y)^2) =f(x^2+2xy+y^2) [/mm] != [mm] f(x^2) +f(y^2) [/mm] //Okay, dass kann nicht mehr weiter zerlegt werden und ist eigentlich nicht erfüllt.
[mm] f(\mu [/mm] x) = [mm] f(\mu*x^2) [/mm] = [mm] \mu [/mm] * [mm] f(x^2) [/mm] //passt
->keine lin. Abb.
Ich habe zwar gelesen was du gemacht hast aber du hast es doch nicht für 1+1 durchprobiert.
Und [mm] (1+1)^2 [/mm] ist IMO was anderes als [mm] 1^2 +1^2.
[/mm]
Für f3 würde ich dann das selbe machen nur eben für die Menge {0-4}
f(x+y)= [mm] f((x+y)^5) [/mm] = [mm] f(x^5+5 x^4 [/mm] y+10 [mm] x^3 y^2+10 x^2 y^3+5 [/mm] x [mm] y^4+y^5) [/mm] //wie rechne ich den Term bittte bei einer Klausur aus...//
= [mm] f(x^5 [/mm] + 5 [mm] x^4+.....) +f(y^5+....) [/mm] //Naja das darf ich wohl nach dem Kommutivitätsgesetz machen
[mm] f(\mu* [/mm] x)= [mm] (\mu [/mm] * [mm] x^5) [/mm] = [mm] \mu (x^5) [/mm] //schaut korrekt aus
-> lin. Abb.
@Sax
Bei der letzten Aufgabe:
Beudeted dies, das ich eine Funktion finden muss?
Naja das heißt ja, ich habe die Menge {0-6}
Für $ [mm] F\vektor{3 \\ 5 \\ 2}= [/mm] $ 3
Jetzt kann ich ja einfach mal die Regel (x,y,z) -> x definieren.
Beweis per Gegenbeweis:
f((6,0,0) + (6,0,0)) =f((12,0,0) = 12
12 ist offensichtlich nicht in der Menge und daher(?) auch keine lin. Abb.
Andrerseits sagst du: "indem man mit irgendwelchen Repräsentanten dieser Klassen wie gewohnt rechnet und zum Schluss den Rest der Division durch 2 (bzw. 5 bzw. 7) nimmt."
Wenn ich das machen würde würde für 12 mod 7= 5 rauskommen und damit in der Menge.
Und wenn ich mir deinen Tipp ansehe $ [mm] 3\cdot{}\vektor{3 \\ 5 \\ 2} [/mm] $ , dann wäre dass ja auch außerhal der Menge aber mit mod 7 wieder innerhalb.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 06.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo zu f1
da werden reelle Funktionen auf ihren Wert bei 1 abgebildet, die wohl einfachste reelle fkt ist g(x)=0
wenn du 2 fkt addierst addieren sich ihre Werte an jeder Stelle. wenn du eine fkt mit r multiplizierst dann wird ihr Wert an jeder Stelle mit r multipliziert..
zu f
du hast wirklich nur die 2 Repräsentanten des Körpers, 0 und 1 , [mm] 1^2=1 [/mm] 1+1=2=0
[mm] 1^2+1^2=1+1=0 [/mm] usw. 2*1=2=0
dein ff(x+y)= [mm] f((x+y)^2) [/mm] ist falsch.
[mm] f(x+y)=(x+y)^2=x^2+y^2+2*x*y
[/mm]
mit [mm] x^2=x [/mm] , [mm] y^2=y [/mm] und 2xy=0 hast du [mm] f(x+y)=x^2+y^2=f(x)+f(y) [/mm] (=x+y)
wirklich
" (1+1)^2ist IMO was anderes als [mm] 1^2+1^2" [/mm]
was immer auch IMO ist (1+1)=ß in [mm] Z_2 [/mm] und [mm] 1^2^+1^2=0
[/mm]
du musst wirklich in [mm] Z_2 [/mm] rechnen!
in [mm] Z_5
[/mm]
[mm] 0^5=0 1^5=1 [/mm] 2°5=32=2 [mm] 3^5=243=3 [/mm] usw alles in [mm] Z_5
[/mm]
allgemein [mm] z^5=z [/mm] für alle [mm] z\in\IZ_5
[/mm]
z f3
12 ist in [mm] F_7 [/mm] ein Repräsentant, fu kannst auch 12=5 schreiben.
oder gleich 6+6=5mod 7
also rechne wirklich in den entsprechenden Körpern und nicht einfach mit natürlichen Zahlen.
Gruss leduart
ist f(
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Okay, danke. d.h. sobald ich über die Menge hinauskomme einfach mod n nehmen und gut ist.
Zu [mm] Z_2 [/mm] versteh ichs. Und die Multiplikation sollte ebenfalls passen. Wobei ich für die doch einfach nur die beiden Kombinationen ausprobieren muss.
Zu [mm] Z_5
[/mm]
Okay, es kommt also für [mm] x^5 [/mm] immer das selbe wieder raus. (Gibt es dazu zufällig einen Satz?)
Wenn ich [mm] (x+y)^5 [/mm] ausmultipliziere, dann erhalte ich ja: [mm] x^5+10x^3y^2+5x^4y+.....
[/mm]
Gut, das [mm] x^5 [/mm] und [mm] y^5 [/mm] ergibt wieder x bzw y. Wenn ich mir [mm] 10x^3y^2 [/mm] ansehe. Ich vermute stark, dass ich das mod 5 nehme und dann 0 rauskommt, egal was für [mm] x^3y^2 [/mm] rauskommt. Gibt es dafür einen Satz?
Wenn ich das dann weitervefolge folgt daraus, dass es eine lin. Abb. ist.
Dann behaupte ich mal, dass für mein oben angegebenes Bsp eine lin. Abb ist.
Und für die zweite Frage:
Würde abgebildet auf [mm] x^2 [/mm] oder [mm] x^5 [/mm] passen
Aber dann kommt mM nach keine lin. Abb. raus. Kann man das genauer angeben?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Di 08.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
5=10=0 mod 5 kannst du als Satz oder als Tatsache in [mm] Z_5 [/mm] betrachten
[mm] x^p=x [/mm] mod p p prim ist ein Satz .
deine letzte Frage verstehe ich nicht. was meinst du mit 2 te Frage?
Gruss leduart
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Die erste habe ich jetzt mal aufgegeben.
D.h f2, und f3 sind lin. Abb..
Meine Frage bezieht sich auf die beiden $ [mm] F\vektor{3 \\ 5 \\ 2}= [/mm] $ 3, $ [mm] F\vektor{2 \\ 1\\6}=4 [/mm] $ .
Bei der ersten sage ich, für (x,y,z) -> x ist eine lin. Abb.
Und bei der Zweiten fällt mir nur [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^5 [/mm] als mögliche Funktionen ein.
Wobei ich dann aber nicht weiß, dass das gilt. bzw wenn ich so wie bei f2 argumentieren würde mit mod 7.
Jedoch habe ich in diesem Fall ja ^2 oder ^5, daher weiß ich nicht wie ich es korrekt angeben soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:08 Di 08.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Meine Frage bezieht sich auf die beiden [mm]F\vektor{3 \\ 5 \\ 2}=[/mm]
> 3, [mm]F\vektor{2 \\ 1\\6}=4[/mm] .
>
da scheint doch ein einigermaßenes Missverständnis vorzuliegen.
Von "die beiden F" ist in der Aufgabe wahrlich nicht die Rede.
Du sollst untersuchen, ob es eine einzige lineare Abbildung gibt, die gleichzeitig beide Gleichungen befriedigt.
Gruß Sax.
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> Die erste habe ich jetzt mal aufgegeben.
> D.h f2, und f3 sind lin. Abb..
>
> Meine Frage bezieht sich auf die beiden [mm]F\vektor{3 \\ 5 \\ 2}=[/mm]
> 3, [mm]F\vektor{2 \\ 1\\6}=4[/mm] .
>
> Bei der ersten sage ich, für (x,y,z) -> x ist eine lin.
> Abb.
Hallo,
es gibt keine erste und zweite.
Es geht darum, ob man eine lineare Abbildung F finden kan, die von [mm] \IZ_7^3 [/mm] nach [mm] \IZ_7 [/mm] abbildet, und die dem Vektor [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 2} [/mm] die 3 zuweist und [mm] \vektor{2 \\ 1\\6}=4 [/mm] die 4.
Du solltest erstmal prüfen, ob die beiden Vektoren linear unabhängig sind.
Dabei wirst Du feststellen, daß sie Vielfache voneinander sind.
Wenn Du dies erkannst hast, mußt Du untersuchen, ob die Zuweisung der Funktionswerte sich mit der Linearität verträgt.
LG Angela
> Und bei der Zweiten fällt mir nur [mm]x^2[/mm] und [mm]x^5[/mm] als
> mögliche Funktionen ein.
> Wobei ich dann aber nicht weiß, dass das gilt. bzw wenn
> ich so wie bei f2 argumentieren würde mit mod 7.
> Jedoch habe ich in diesem Fall ja ^2 oder ^5, daher weiß
> ich nicht wie ich es korrekt angeben soll.
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