Lin. GLS mit 3 Variablen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 08.03.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Für welche Werte des Parameters t ist das Gleichungssystem
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
0 & 3 & t
\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
10 \\
28 \\
12
\end{bmatrix}
[/mm]
eindeutig lösbar? Bestimmen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems. |
Also ich habe so angefangen:
[mm] \begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
0 & 3 & t
\end{matrix} \vline \begin{matrix}
10 \\
28 \\
12
\end{matrix}
[/mm]
[mm] \xrightarrow{4*Z1-Z2}\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & 3 & t
\end{matrix} \vline \begin{matrix}
10 \\
-12 \\
12
\end{matrix}
[/mm]
[mm] \xrightarrow{Z2+Z3}\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & 0 & t-6
\end{matrix} \vline \begin{matrix}
10 \\
-12 \\
0
\end{matrix}
[/mm]
Für [mm] t\not=6 [/mm] ist das GLS nie Lösbar!
Für t=6:
Z2 : 2 Unbekannte
y=s:
-3y-6z=-12
[mm] \gdw [/mm] -6z=-12+3y
[mm] \gdw z=2-\bruch{1}{2}y=2-\bruch{1}{2}*s
[/mm]
Z1 :
x+2y+3z=10
x=10-2y-3z
[mm] x=10-2s-3*(2-\bruch{1}{2}s)
[/mm]
[mm] x=10-2s-6+\bruch{3}{2}s
[/mm]
[mm] x=4-\bruch{1}{2}s
[/mm]
[mm] \IL=\left\{\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{4-\bruch{1}{2}*s \\ s \\ 2-\bruch{1}{2}*s}\vline s\in\IR\right\}
[/mm]
[mm] =\left\{\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{4 \\ 0 \\ 2}+s*\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ -\bruch{1}{2}}\vline s\in\IR\right\}
[/mm]
Ist das richtig so?
woher weis ich genau, dass s [mm] \in \IR [/mm] ist. bzw. wann wäre s [mm] \not\in\IR [/mm] ?
Danke und Gruß,
tedd 
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Hallo tedd,
> Für welche Werte des Parameters t ist das Gleichungssystem
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
0 & 3 & t
\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
10 \\
28 \\
12
\end{bmatrix}[/mm]
>
> eindeutig lösbar? Bestimmen Sie die Lösung dieses
> Gleichungssystems.
> Also ich habe so angefangen:
>
> [mm]\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
0 & 3 & t
\end{matrix} \vline \begin{matrix}
10 \\
28 \\
12
\end{matrix}[/mm]
>
> [mm]\xrightarrow{4*Z1-Z2}\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & 3 & t
\end{matrix} \vline \begin{matrix}
10 \\
-12 \\
12
\end{matrix}[/mm]
>
> [mm]\xrightarrow{Z2+Z3}\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & 0 & t-6
\end{matrix} \vline \begin{matrix}
10 \\
-12 \\
0
\end{matrix}[/mm]
>
> Für [mm]t\not=6[/mm] ist das GLS nie Lösbar!
>
Irrtum, fuer [mm]t \not= 6 [/mm] ist das GLS eindeutig lösbar.
>
> Für t=6:
>
> Z2 : 2 Unbekannte
> y=s:
> -3y-6z=-12
> [mm]\gdw[/mm] -6z=-12+3y
> [mm]\gdw z=2-\bruch{1}{2}y=2-\bruch{1}{2}*s[/mm]
>
> Z1 :
> x+2y+3z=10
> x=10-2y-3z
> [mm]x=10-2s-3*(2-\bruch{1}{2}s)[/mm]
> [mm]x=10-2s-6+\bruch{3}{2}s[/mm]
> [mm]x=4-\bruch{1}{2}s[/mm]
>
> [mm]\IL=\left\{\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{4-\bruch{1}{2}*s \\ s \\ 2-\bruch{1}{2}*s}\vline s\in\IR\right\}[/mm]
>
> [mm]=\left\{\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{4 \\ 0 \\ 2}+s*\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ -\bruch{1}{2}}\vline s\in\IR\right\}[/mm]
>
> Ist das richtig so?
Ja, die Lösung für t=6 ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> woher weis ich genau, dass s [mm]\in \IR[/mm] ist. bzw. wann wäre s
> [mm]\not\in\IR[/mm] ?
Aus der Aufgabe ist nicht ersichtlich, daß [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}[/mm] ist.
Gewöhnlich löst man ein Gleichungssystem über [mm]\IR^{n}[/mm].
Es sei denn, aus der Aufgabe geht was anderes hervor.
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 08.03.2009 | | Autor: | tedd |
> Hallo tedd,
>
>
> Irrtum, fuer [mm]t \not= 6[/mm] ist das GLS eindeutig lösbar.
Ouch stimmt!
Für [mm] t\not=6 [/mm] ist z=0
Z2: -3*y-6*z=-12
[mm] \gdw [/mm] -3*y-0=-12
[mm] \gdw [/mm] y=4
Z1: 1*x+2*y+3*z=10
[mm] \gdw [/mm] x+8+0=10
[mm] \gdw [/mm] x=2
> Gruß
> MathePower
Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> > Hallo tedd,
> >
> >
> > Irrtum, fuer [mm]t \not= 6[/mm] ist das GLS eindeutig lösbar.
>
> Ouch stimmt!
>
> Für [mm]t\not=6[/mm] ist z=0
>
> Z2: -3*y-6*z=-12
> [mm]\gdw[/mm] -3*y-0=-12
> [mm]\gdw[/mm] y=4
>
> Z1: 1*x+2*y+3*z=10
> [mm]\gdw[/mm] x+8+0=10
> [mm]\gdw[/mm] x=2
Jetzt stimmt auch das.
>
> > Gruß
> > MathePower
>
> Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 So 08.03.2009 | | Autor: | tedd |
Super!
Danke MathePower.
Gruß,
tedd
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