Lin. Transform. -flächeneutral < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 19.06.2007 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Transformationsmatrix
[mm] \overrightarrow{y}=A\overrightarrow{x}
[/mm]
mit
[mm] A=\pmat{ 2 & 5 \\ 1 & 3 } [/mm]
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{ x_{1}\\ x_{2}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{y}=\vektor{ y_{1}\\ y_{2}}
[/mm]
1. Berechnen Sie mitHilfe der äußeren Produktbildung die Fläche des Paralelogramms, das von 2 Vektoren
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{ x_{11}\\ x_{12}} [/mm] und
[mm] \overrightarrow{y}=\vektor{ y_{21}\\ y_{22}}
[/mm]
aufgespant wird.
2. Zeigen sie daß das von den Matrizen
[mm] \overrightarrow{y_{1}}=A*\overrightarrow{x_{1}} [/mm] und
[mm] \overrightarrow{y_{2}}=A*\overrightarrow{x_{2}} [/mm]
aufgespannte Parallelogramm dieselbe Fläche wie bei Nummer 1 besitzt und die obige Transformation A damit flächenneutral ist. |
Ich weiß nicht genau was bei dieser Aufgabenstellung gefordert wird.
Soll man bei Aufgabe 1 einfach daß Keuzprodukt aus 2 Vektoren aus dem [mm] R^{2} [/mm] bilden (ist das überhaupt möglich? Habe ich glaube ich noch nie gesehen) und dann den Betrag berechnen ? Falls dies im [mm] R^{2} [/mm] möglich ist, so hätte man doch lediglich die Differenz:
( [mm] x_{11}* x_{21} [/mm] ) - ( [mm] x_{12} x_{22} [/mm] ) [mm] =\vektor{ x_{11}* x_{21}\\ -x_{12} x_{22}}
[/mm]
daraus soll man dann den Betrag bilden, also quadrieren der Komponenten und Wurzel aus ihrer Summe ziehen, stimmt das soweit?
Eine lineare Transformation ist doch dasselbe wie eine Funktion nur bezogen auf einen Punkt. Sie bildet doch einen Punkt P der x,y-Ebene auf einen Punkt [mm] P^{'} [/mm] ind er x,y-Ebene ab, oder?
Aufgabe 2: wenn ich nun die Vektoren [mm] \overrightarrow{y_{1}}=A*\overrightarrow{x_{1}} [/mm] und
\ [mm] overrightarrow{y_{2}}=A*\overrightarrow{x_{2}} [/mm] ausrechne und aus ihnen auf dieselbe Art das Kreuzprodukt bilde um aus dem Betrag des Kreuzproduktes die Fläche zu berechnen, so ist schon mein Kreuzprodukt 0!
Weiß nicht ob ich die Aufgabe richtig verstanden haben, aber ein anderer Lösungsweg fällt mir leider nicht ein!
Vielen Dank für die Hilfe im vorraus
mfg Tekker
P.S.: Habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
VNV_Tommy: Hallo Tekker! Bitte vermeide Doppelpostings. Ich entferne die beiden anderen Postings mit gleichem Inhalt.
Wenn du einen Eingabefehler gemacht und dein Posting abgesendet hast, dann kannst du dein Posting auch noch im nachhinein bearbeiten. Du brauchst dazu keine neues Posting abschicken.
|
|
| |
|
> Gegeben ist die lineare Transformationsmatrix
> [mm]\overrightarrow{y}=A\overrightarrow{x}[/mm]
> mit
> [mm]A=\pmat{ 2 & 5 \\ 1 & 3 }[/mm]
> [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{ x_{1}\\ x_{2}}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{y}=\vektor{ y_{1}\\ y_{2}}[/mm]
>
> 1. Berechnen Sie mitHilfe der äußeren Produktbildung die
> Fläche des Paralelogramms, das von 2 Vektoren
>
> [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{ x_{11}\\ x_{12}}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{y}=\vektor{ y_{21}\\ y_{22}}[/mm]
> aufgespant
> wird.
>
> 2. Zeigen sie daß das von den Matrizen
> [mm]\overrightarrow{y_{1}}=A*\overrightarrow{x_{1}}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{y_{2}}=A*\overrightarrow{x_{2}}[/mm]
> aufgespannte Parallelogramm dieselbe Fläche wie bei Nummer
> 1 besitzt und die obige Transformation A damit
> flächenneutral ist.
> Soll man bei Aufgabe 1 einfach daß Keuzprodukt aus 2
> Vektoren aus dem [mm]R^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bilden (ist das überhaupt möglich?
Hallo,
da hast Du ja schon den richtigen Riecher.
Nein, das ist nicht möglich, das Kreuzprodukt ist für \IR^3 erklärt.
Wie sollte man im \IR^2 auch einen Vektor finden, welcher auf zwei linear unabhängigen senkrecht steht?
Aber was nicht paßt, kann mitunter passend gemacht werden.
Verleg' Dein Problem kurzerhand in den \IR^3, und berechne den Flächeninhalt des von
$ \overrightarrow{x'}=\vektor{ x_{11}\\ x_{12}\\0} $ und
$ \overrightarrow{y'}=\vektor{ y_{21}\\ y_{22}}\\0} $
aufgespannten Parallelogramms. (Dieses Parallelogramm liegt in der xy-Ebene.)
Für Teil b) berechne die Bilder von A\overrightarrow{x} und A\overrightarrow{y}.
Anschließend verlegst Du sie wie oben in den \IR^3 und berechnest den Flächeninhalt des Aufgespannten Paralleogramms mit dem Kreuzprodukt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Do 21.06.2007 | | Autor: | Tekker |
Vielen Dank für Deine Hilfe,
hast mir damit sehr geholfen (alte Klausuraufgabe)!
mfg Tekker
|
|
|
|
