Lin. Unabhängigkeit nachweisen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich stecke bei folgenden Fragen fest:
1.)
Gegeben sind die Vekoren:
CAx (-x;0;-3) und CBx(4;4;2x-4)
ich soll zeigen das sie für jedes x linear unabhänhig sind.
Meine Lösung sieht so aus:
CAx+CBx=0
I -x 4 0
II 0 4 0
III -3 2x-4 0
aus III würde folgen x=3,5
In I eingesetzt ergäbe dies keinen Sinn. -3,5=-4
Auch bei II hieße es 4=0. Also ist das System nicht lösbar.
Hab ich damit bewiesen das sie linear unabhängig sind?
2.)
Gegeben sind die Vektoren Ax (-x;-8;1) Bx(4;-4;2x) und C (0;-8;4)
Untersuchen sie für welche x die drei Vektoren linear abhängig sind.
Mein Ansatz wäre
I -x 4 0 0
II -8 -4 -8 0
III 1 2x 4 0
Aber weiter komme ich nicht. Es gibt kein x mit welcher das System aufgeht.
Wäre super wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Mfg
Arne
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Hallo Arne!
> Meine Lösung sieht so aus:
>
> CAx+CBx=0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du musst hier [mm] $a*\overrightarrow{CA}_x+b*\overrightarrow{CB}_x [/mm] \ = \ 0$ aufstellen.
> I -x 4 0
> II 0 4 0
> III -3 2x-4 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aus III würde folgen x=3,5
Wie kommst du darauf? Aus der 2. Gleichung erhält man, dass gilt: $b \ = \ 0$ .
Und das nun in die anderen beiden Gleichungen einsetzen. Und wenn nur die Triviallösung $a \ = \ b \ = \ 0$ herauskommt, sind die Vektoren linear unabhängig.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Arne!
Auch hier musst Du folgende Gleichung / Gleichungssystem aufstellen und lösen:
[mm] $$a*\overrightarrow{A}_x+b*\overrightarrow{B}_x+c*\overrightarrow{C}_x [/mm] \ = \ 0$$
Gruß vom
Roadrunner
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Ich glaub teilwiese versteh ich es.
Nochmal zu Nr.2
Wenn es heißt:
I -x 4 0 0
II -8 -4 -8 0
III 1 2x 4 0
dann müsste ich doch über I an b herankommen?
b= x/4 ???
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Hallo Arne!
Das stimmt so nicht. Denn in Langform lautet die oberste Zeil der Gleichungsmatrix:
[mm] $$-x*\red{a}+4*\red{b}+0*\red{c} [/mm] \ = \ 0$$
Du musst hier also zunächst die einzelnen Matrixzeilen umformen und Werte eliminieren.
Gruß vom
Roadrunner
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Könnte ich die zweite Komponente entfernen indem ich II stehen lasse und I + II sowie 2*III+x*II zusammenfasse?
=
I' -x-8 -8x 0
II' -8x+2 4 0
II'*2x+I'
ergäbe am Ende
-16x²+8x-8=0
Wenns nicht richtig ist wäre ich für einen anderen Ansatz dankbar.
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Hallo starbak,
ich kann die Rechnung irgendwie nicht so ganz nachvollziehen.
Nach Loddars Ansatz oben [mm] $a\cdot{}\vektor{-x\\-8\\1}+b\cdot{}\vektor{4\\-4\\2x}+c\cdot{}\vektor{0\\-8\\4}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] musst du untersuchen, wie die Lösung $a,b,c$ in Abhängigkeit von $x$ aussieht
Ich würde es so angehen: Du hast mit obigem Ansatz dieses System:
[mm] $\vmat{-&ax&+&4b&&&=&0\\-&8a&-&4b&-&8c&=&0\\&a&+&2xb&+&4c&=&0}$
[/mm]
Wir können den ersten Term in der 3.Zeile eliminieren, wenn wir die 1.Zeile zum x-fachen der 3.Zeile addieren: das liefert
[mm] $\vmat{-&ax&+&4b&&&=&0\\-&8a&-&4b&-&8c&=&0\\&&&(2x^2+4)b&+&4xc&=&0}$
[/mm]
Den ersten Eintrag in der 2.Zeile können wir weghauen, wenn wir das -8fache der 1.Zeile zum x-fachen der 2.Zeile addieren: das gibt
[mm] $\vmat{-&ax&+&4b&&&=&0\\&&&(-32-4x)b&-&8xc&=&0\\&&&(2x^2+4)b&+&4xc&=&0}$
[/mm]
Wenn wir nun die 2.Zeile zum 2fachen der 3.Zeile addieren, können wir den dritten Term in der 3.Zeile eliminieren:
[mm] $\vmat{-&ax&+&4b&&&=&0\\&&&(-32-4x)b&-&8xc&=&0\\&&&(4x^2-4x-24)b&&&=&0}$
[/mm]
Das kann man noch etwas übersichtlicher schreiben:
[mm] $\vmat{-&ax&+&4b&&&=&0\\&&&(-32-4x)b&-&8xc&=&0\\&&&4(x+2)(x-3)b&&&=&0}$
[/mm]
Und hier kannst du anhand der 3.Zeile untersuchen, wann es nur die Lösung $a=b=c=0$ gibt, die 3 Vektoren damit linear unabhängig sind, und wann es eine nicht-triviale Lösung gibt, die Vektoren also linear abhängig sind
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:27 Mi 27.02.2008 | | Autor: | starbak05 |
Danke.
Ich werd mich die Tage nochmal mit dem Lösen solcher Systeme beschäftigen, damit ich beim nächsten Mal nicht solche Probleme bekomme.
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