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Line-Graph Beweis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:49 Do 24.03.2011
Autor: Loko

Aufgabe
H ist ein zusammenhängender Graph, L(H) ist regulär
[mm] \Rightarrow [/mm] H ist regulär oder semi-regulär bipartite


Ich habe mich jetzt an dem Beweis versucht, bin mir aber bei manchen Schritten noch nicht sicher:

L(H) ist regulär [mm] \Rightarrow \forall uv\in [/mm] V(L(H)) d(uv) = r (Grad der Ecke).
Ist uv [mm] \in [/mm] E(H) (Kantenmenge), so hat uv mit r anderen Kanten eine Ecke gemeinsam. (Es treffen r andere Kanten an u oder v).
[mm] \Rightarrow [/mm] d(u) + d(v) = r+2 (Da auch die Kante uv jeweils auf u und v trifft)
[mm] \gdw [/mm] d(u) = r+2 - d(v).

Diese Gleichung gilt für jede bel. Kante (hier weiß ich nicht genau wieso ich das behaupten kann. Reicht es, dass L(H) regulär ist, oder muss auch hierher, dass H zusammenhängend ist?)

Da H zusammenhängend gibt es einen Kantenzug durch jede Ecke in H: [mm] v_{1},v_{2},v_{3}, [/mm] ..., [mm] v_{n} [/mm]
mit [mm] d(v_{1}) [/mm] = 2r - [mm] d(v_{2}), [/mm] und
    [mm] d(v_{2}) [/mm] = 2r - [mm] d(v_{1}). [/mm]

Beh.: [mm] \forall [/mm] i gerade: [mm] d(v_{i}) [/mm] = [mm] d(v_{2}) [/mm] und
      [mm] d(v_{i+}) [/mm] = [mm] d(v_{1}). [/mm]
Dazu Vollständige Induktion über i: (Dabei bin ich mir auch nicht so sicher, dass die stimmt)

I.A.: [mm] d(v_{3}) [/mm] = 2r - [mm] d(v_{2}) [/mm] = 2r - 2r + [mm] d(v_{1}) [/mm] = [mm] d(v_{1}) [/mm]
      [mm] d(v_{4}) [/mm] = 2r - [mm] d(v_{3}) [/mm] = 2r - [mm] d(v_{1}) [/mm] = [mm] d(v_{2}) [/mm]

I.S: [mm] d(v_{i}) \to d(v_{i+1}): [/mm]
i gerade: [mm] d(v_{i}) [/mm] = [mm] d(v_{2}) [/mm] (I.V) [mm] \Rightarrow [/mm]
   [mm] d(v_{i+1}) [/mm] = 2r - [mm] d(v_{i}) [/mm] = 2r - [mm] d(v_{2}) [/mm] = [mm] d(v_{1}) [/mm]
i ungerade: [mm] d(v_{i}) [/mm] = [mm] d(v_{1}) [/mm] (I.V) [mm] \Rightarrow [/mm]
   [mm] d(v_{i+1}) [/mm] = 2r - [mm] d(v_{i}) [/mm] = 2r - [mm] d(v_{1}) [/mm] = [mm] d(v_{2}). [/mm]

Also [mm] \forall [/mm] Ecken im Kantenzug ist (mit i ungerade):
   [mm] d(v_{i}) [/mm] = [mm] d(v_{1}) [/mm] und [mm] d(v_{i+1}) [/mm] = [mm] d(v_{2}) [/mm]
Damit ist H regulär falls [mm] d(v_{1}) [/mm] = [mm] d(v_{2}) [/mm] und semi-regulär bipartite sonst.

(Hier noch eine Frage, warum weiß ich, dass H bipartit ist. Kann nicht auch die Ecke ungeraden Grades mit der geraden Grads benachbart sein? Oder wodurch ist das ausgeschlossen?)
  


        
Bezug
Line-Graph Beweis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Sa 26.03.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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