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Linear Interpolation: Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Do 09.04.2015
Autor: DieNase

Aufgabe
Existiert nicht leider :-(

Hi, Ich versuche mal eben das zusammenzufassen was ich tun muss, damit ihr ein Überblick kriegt was mein problem ist :-)

Ich habe eine Oberfläche (z.b. Kugel) die Kugel wurde näherungsweise mit Dreiecken ausgefüllt.

http://www.3d-meier.de/tut12/Ik/Ikosa3Dome.gif

In diesem Bild kann man das ganze sehr gut erkennen. Nun habe ich ein Punkt in der Fläche eines Solches dreieckes. Diesen konnte ich durch baryzentrische Koordinaten berechnen.

Ich soll nun den Normalvektor dieses Punktes berechnen. Gegeben habe ich die 3 Normalvektoren der Eckpunkte meines Dreieckes.

Wenn ich nun alles richtig verstanden habe dann bilden mir diese 3 Normalvektoren eine Ebene. Diese Ebene müsste ich doch mit Linear Interpolation erhalten.

Und anscheinend kann ich auch den Normalvektor des Punktes p den ich durch baryzentrische Koordianten berechnet habe durch Linear Interpolation erhalten. Zwar habe ich schon Linear Interpolation an der Hochschule zur genüge berechnet stand aber noch nie vor solch einem Problem. Ehrlich gesagt habe ich nicht mal ein Ansatz wie ich das lösen kann :-(

Für hilfestellungen tipps Ideen wäre ich sehr dankbar. Weil ich gerade echt anstehe. Achja bitte nicht die Ganze Lösung nur denkanstöße!

        
Bezug
Linear Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Do 09.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Existiert nicht leider :-(
>  Hi, Ich versuche mal eben das zusammenzufassen was ich tun
> muss, damit ihr ein Überblick kriegt was mein problem ist
> :-)
>
> Ich habe eine Oberfläche (z.b. Kugel) die Kugel wurde
> näherungsweise mit Dreiecken ausgefüllt.
>
> http://www.3d-meier.de/tut12/Ik/Ikosa3Dome.gif
>  
> In diesem Bild kann man das ganze sehr gut erkennen. Nun
> habe ich ein Punkt in der Fläche eines Solches dreieckes.
> Diesen konnte ich durch baryzentrische Koordinaten
> berechnen.
>
> Ich soll nun den Normalvektor dieses Punktes berechnen.

hier verstehe ich nicht, was Du machen willst. Was ist "der Normalenvektor
dieses Punktes"?

Ich denke, Du hast quasi ein Dreieck im Raum und willst nun die Gerade
wissen, die durch einen festen Punkt des Dreiecks geht und senkrecht
auf das Dreieck steht - und natürlich hat diese Gerade nicht nur einen
Richtungsvektor, sondern unendlich viele (skalare Vielfachheit ist da das
Stichwort).

> Gegeben habe ich die 3 Normalvektoren der Eckpunkte meines
> Dreieckes.

Wenn Du im Raum die Punkte [mm] $A,B,C\,$ [/mm] gegeben hast, dann liefert Dir das Kreuzprodukt

    [mm] $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ [/mm]

einen Vektor, der senkrecht auf die durch A,B,C gegebene Dreiecksfläche steht.
Wichtig ist nur, dass $A,B,C$ nicht allesamt auf einer gemeinsamen Geraden
liegen.

Generell gibt es hier neben den Begriff der linearen Abhängigkeit halt auch
den Begriff der affinen Abhängigkeit, und es gibt halt gewisse entsprechende
oder ähnliche Beziehungen.

    []http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/infalg3.pdf

Schau' Dir auch mal Satz A2.2 von hier an:

    []http://www.math.uni-augsburg.de/prof/opt/mitarbeiter/jungnickel/Publikationen/Buch/Opt1/Download/affgeom.pdf
  

> Wenn ich nun alles richtig verstanden habe dann bilden mir
> diese 3 Normalvektoren eine Ebene.

Was verstehst Du hier genau unter dem Begriff "Normalenvektor"; und
welche meinst Du? Nehmen wir an, Du hast ein (echtes) Dreieck mit Ecken
A,B,C.

> Diese Ebene müsste ich doch mit Linear Interpolation erhalten.

Was meinst Du damit?

> Und anscheinend kann ich auch den Normalvektor des Punktes
> p den ich durch baryzentrische Koordianten berechnet habe
> durch Linear Interpolation erhalten. Zwar habe ich schon
> Linear Interpolation an der Hochschule zur genüge
> berechnet stand aber noch nie vor solch einem Problem.
> Ehrlich gesagt habe ich nicht mal ein Ansatz wie ich das
> lösen kann :-(
>
> Für hilfestellungen tipps Ideen wäre ich sehr dankbar.
> Weil ich gerade echt anstehe. Achja bitte nicht die Ganze
> Lösung nur denkanstöße!

Ich weiß halt nicht, ob ich Dich richtig verstehe, aber einfach mal kurz:
Du kennst Eckpunkte eines Dreiecks, etwa

    $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$ und [mm] $C=(0,0,1)\,.$ [/mm]

Jetzt kannst Du natürlich damit eine Ebene im [mm] $\IR^3$ [/mm] beschreiben, etwa (in
Schulnotation)

    [mm] $\text{E\,:}\;\;\;(x,y,z)^T=(1,0,0)^T+r*\overbrace{\vektor{0 - 1 \\ 1 - 0 \\ 0 - 0}}^{=\overrightarrow{AB}}+s*\overbrace{\vektor{0 - 1 \\ 0 - 0 \\ 1 - 0}}^{=\overrightarrow{AC}}$ [/mm]

Du hast nun irgendeinen Punkt P dieser Ebene E, der zudem innerhalb des
Dreiecks liegt.

Einen Vektor "senkrecht zum Dreieck" bekommst Du durch das oben erwähnte []Kreuzprodukt:

    [mm] $\vektor{-1\\1\\0} \times \vektor{-1\\0\\1}=\vektor{1*1-0*0\\0*(-1)-(-1)*1\\-1*0-1*(-1)}=\vektor{1\\1\\1}$ [/mm]

Wenn Du ihn noch auf die Länge 1 bringen willst, dann teile durch seine Länge.
(Du kannst ihn auch noch um 180° drehen, das macht eine Multiplikation mit
der skalaren -1.)

Wofür Du die baryzentrischen Koordinaten wirklich brauchst, weiß ich gerade
nicht; sie sind aber sicher hilfreich dafür, dass der Punkt auch wirklich in
dem Dreieck liegt. Allgemein haben sie was mit der konvexen Hülle zu tun:

    []http://de.wikipedia.org/wiki/Baryzentrische_Koordinaten#Allgemeine_Definition

Aber ein Dreieck ist ja nur eine konvexe Hülle dreier Punkte.

Generell kannst Du halt auch mal unter den Stichworten

    * konvexe Geometrie

bzw., weil ich zuerst daran dachte, als ich das mit der Kugel sah, auch

    * Finite Element Methoden

nachschlagen. Für letzteres braucht man in der Regel aber einen Haufen
an theoretischen Grundlagen.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Linear Interpolation: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:42 Fr 10.04.2015
Autor: DieNase

Als erstes einmal danke für die Antwort ich habe mir schon sehr viel davon durchgelesen. Leider hab ich die Fälligkeit falsch gesetzt. Das ganze ist erst am 10.5 fällig ^^ Aber ich arbeite mal wieder vor für die Uni. Ich hab jetzt die Fälligkeit richtig eingetragen.

Die Aufgabenstellung ist sehr umfangreich da ich nicht imstande bin sie so wiederzugeben das andere sie verstehen habe ich sie mal hochgeladen.

https://onedrive.live.com/redir?resid=82c2449262ce7b01%217473

Grundsätzlich ist mir klar wie eine linear Inerpolation funktioniert. Jedoch habe ich noch nie eine solche gemacht wie die die ich hier machen muss.

Vlt. kurz noch. Die Punkte auf meinen Dreiecken sind float2 das ist ein datentyp der aus x/y besteht und 2 werte speichert. Meine Normalvektoren auf die Eckpunkte (vertex so auch der begriff in der angabe)  sind aber float3 diese bestehen aus x/y/z. Ich stell mir hier immer die Frage wie in aller Welt soll ich dazu eine Linear Interpolation machen. Mein Punkt p auf der Fläche eines Dreieckes ist wieder mit x/y beschrieben.

Grundsätzlich ist mir klar das eine Linear Interpolation so wie ich sie hier habe über 3 Punkte ein Polynom der 2. Ordnung erzeugen muss. Wie ich das aber formuliere verstehe ich leider nicht.

Es geht hier um die Aufgabe 2.1 die Beschreibung dazu ist in Kapitel 1.1. Leider verstehe ich nicht wie man dies Linear Interpolation durchführen soll. Ich kann mir nur so vorstellen das mir die Normalvektoren sagen wie der Punkt 1/2/3 im raum stehen. Das Dreieck hat auch einen Normalvektor. Ich vermute mal das ich eine Beziehung aufbauen muss zwischen den Punkten und deren Ausrichtung im Raum (also ein Polynom 2. Ordnung erzeugen) und anschließend für Punkt p den Normalvektor berechnen soll.

Ich hoffe jetzt ist es klar und vielen dank für deine Antwort ich lese solche sachen immer brav durch weil man kann ja immer nur mehr dazu lernen :-)

mfg
Christoph

Bezug
                        
Bezug
Linear Interpolation: Link und Datei-Upload...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:28 Fr 10.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

ich habe momentan nicht so lange Zeit, aber:

> Als erstes einmal danke für die Antwort ich habe mir schon
> sehr viel davon durchgelesen. Leider hab ich die
> Fälligkeit falsch gesetzt. Das ganze ist erst am 10.5
> fällig ^^

das macht nichts - es geht eigentlich auch eher um Dein Ziel: Bis wann
wäre es für Dich gut, wenn Deine Frage bearbeitet werden würde. :-)

Ich habe mal 6 Tage drangehängt, sag' einfach Bescheid, wenn Du da
mehr Spielraum geben willst. Jeder Moderator kann da mithelfen!

Soll ich/sollen wir aus Deiner Frage eine Umfrage machen? Dann
bekommst Du auch eher nach einer Antwort noch weitere Antworten.

Zu dem Datei-Upload: Beachte bitte, dass es Urheberrechte gibt. Ich weiß
nicht, ob das sinnvoll ist, dass Du Dich dahingehend *selbst gefährdest*.

Zudem komme ich bei dem Link auf eine Datei, die erstens: als .exe-Datei
gespeichert ist, zweitens: Selbst nach Umbenennung wird sie nicht geöffnet
und drittens: Mein Virenscanner schlägt Alarm.

Ich benutze für Dateienaustausch am Liebsten Dropbox, dann kann man
danach *Link freigeben* anklicken und einen entsprechenden Link
weitergeben.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Linear Interpolation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 Fr 10.04.2015
Autor: DieNase

Nun der Link scheint wirklich nicht sauber zu sein. Was mich stark verwundert. Hab mal den link rausgenommen und ein Direkt link zu meinem Onedrive hineingefügt. Wegen dem Urheberrecht sollte man sich hier keine sorgen machen. Die dateien liegen auf dem Uni server und sind für alle interessierte zugänglich.

Bezug
                        
Bezug
Linear Interpolation: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 11.05.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Linear Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Fr 10.04.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Existiert nicht leider :-(
>  Hi, Ich versuche mal eben das zusammenzufassen was ich tun
> muss, damit ihr ein Überblick kriegt was mein problem ist
> :-)
>
> Ich habe eine Oberfläche (z.b. Kugel) die Kugel wurde
> näherungsweise mit Dreiecken ausgefüllt.
>
> http://www.3d-meier.de/tut12/Ik/Ikosa3Dome.gif
>  
> In diesem Bild kann man das ganze sehr gut erkennen. Nun
> habe ich ein Punkt in der Fläche eines Solches dreieckes.
> Diesen konnte ich durch baryzentrische Koordinaten
> berechnen.
>
> Ich soll nun den Normalvektor dieses Punktes berechnen.
> Gegeben habe ich die 3 Normalvektoren der Eckpunkte meines
> Dreieckes.
>  
> Wenn ich nun alles richtig verstanden habe dann bilden mir
> diese 3 Normalvektoren eine Ebene. Diese Ebene müsste ich
> doch mit Linear Interpolation erhalten.
>
> Und anscheinend kann ich auch den Normalvektor des Punktes
> p den ich durch baryzentrische Koordianten berechnet habe
> durch Linear Interpolation erhalten. Zwar habe ich schon
> Linear Interpolation an der Hochschule zur genüge
> berechnet stand aber noch nie vor solch einem Problem.
> Ehrlich gesagt habe ich nicht mal ein Ansatz wie ich das
> lösen kann :-(
>
> Für hilfestellungen tipps Ideen wäre ich sehr dankbar.
> Weil ich gerade echt anstehe. Achja bitte nicht die Ganze
> Lösung nur denkanstöße!


Hallo DieNase

auch mir ist wie für Marcel nicht ganz klar, was du exakt willst.
So wie ich verstanden habe, soll das Dreiecksgitter "nur" als
Approximation für eine (wahrscheinlich glatte) Fläche im [mm] \IR^3 [/mm]
dienen.
Falls die zu approximierende Fläche wirklich einfach eine Sphäre
sein soll, würde ich andere Methoden als für den Fall allgemeinerer
Flächen vorschlagen.
Die wichtigste Frage scheint mir aber nun noch: Suchst du einen
Normalenvektor zur Ebene, welche durch eine dreieckige Facette
des Polyeders gebildet wird (dann hast du für jeden inneren Punkt
des Dreiecks denselben Normalenvektor), oder meinst du den
Normalenvektor der gekrümmten Fläche in einem ihrer Punkte,
der durch einen Punkt im Inneren eines solchen Dreiecks nur
approximiert wird ?
Ich kann mir vorstellen, dass das Ganze für eine pixelweise
"glatte" Schattierung oder Färbung einer gerenderten Fläche
dienen soll. Für diesen Fall kann man den (kleinen) dreieckigen
Flächenausschnitt durch ein sphärisches Dreieck approximiert
denken und dann für diesen Fall die korrekte Schattierung für
die Sphäre als Approximation für die Schattierung der approxi-
mierten Fläche nehmen. Dazu kann man dann eine lineare inter-
polation aus den Normalenvektoren an den 3 Eckpunkten
einsetzen.
Es wäre aber sinnvoll, wenn du nun zunächst die genaue Absicht
bzw. den Zweck des Ganzen näher erläuterst.

LG ,    Al-Chwarizmi  


Bezug
                
Bezug
Linear Interpolation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Fr 10.04.2015
Autor: DieNase

Ja es geht um genau diese Berechnung :-)

https://onedrive.live.com/redir?resid=82c2449262ce7b01%217473

hier ist die gesamte Aufgabenstellung. Und ich bin sehr verwundert. wie das funktionieren soll. Also die Eckpunkte sind mit x/y beschrieben während die Normalvektoren mit x/y/z beschrieben sind :-)

Bezug
                        
Bezug
Linear Interpolation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:53 Fr 10.04.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Ja es geht um genau diese Berechnung :-)
>
> https://onedrive.live.com/redir?resid=82c2449262ce7b01%217473
>
> hier ist die gesamte Aufgabenstellung. Und ich bin sehr
> verwundert. wie das funktionieren soll. Also die Eckpunkte
> sind mit x/y beschrieben während die Normalvektoren mit
> x/y/z beschrieben sind :-)


Guten Abend,

diese x/y und x/y/z  finde ich in dem Text zwar nicht explizit,
aber ich kann mir vorstellen, um was es dabei wahrscheinlich
geht. Zur Beschreibung eines inneren Punktes eines Dreiecks
ABC genügen zwei (baryzentrische) Koordinaten, meinetwegen
[mm] \lambda_A [/mm] und [mm] \lambda_B. [/mm] Der zum dritten Eckunkt C gehörige Faktor [mm] \lambda_C [/mm]
ist dann ja einfach gegeben durch [mm] \lambda_C:=1-\lambda_A-\lambda_B [/mm] .
Diese Lambdas sind nur Hilfskoordinaten in einem 2D-
Koordinatensystem in einer Facetten-Ebene. Das Ganze
spielt sich aber ja dann im 3D-Raum ab, in welchem jeder
Punkt (z.B. A, B oder C) drei Raumkoordinaten und jeder
Normalenvektor 3 räumliche Komponenten hat.

Obwohl mich das Thema durchaus interessiert, habe ich aber
in den nächsten paar Tagen kaum Zeit, weiter bei dem Thread
zu bleiben. Es findet sich aber bestimmt jemand, der deine
Fragen beantworten kann. Man muss sich nur bewusst sein,
dass die bei diesem "Phong-Shading" verwendeten Interpolationen
eben auch nur Approximationen sind. An den Ergebnissen sieht
man auch die Effekte, die durch die Approximation verursacht
werden. Es geht ja darum, einen Mittelweg zu suchen, um
ein (in einem gewissen Rahmen) möglichst gutes optisches
Ergebnis zu bekommen, obwohl man das Gitter nicht allzu
fein macht (um gewaltig an Rechenleistung und -Dauer zu
sparen).

LG ,   Al-Chwarizmi
  

Bezug
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