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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hallo!
Um festzustellen ob eine Menge M linear abhängig oder linear unabhängig ist, reicht es ja ein homogenes Gleichungssystem aufzustellen und dieses zu lösen. Nun hat ein homogenes Gleichungssystem immer die Lösung für die Koeffizienten [mm] a_{1}=...=a_{n}=0. [/mm] Leider bekomme ich auch das meistens immer als Lösung heraus. Ich suche ja aber gerade nach einer Lösung, die davon verschieden ist. Denn wenn nur die triviale Lösung herauskommt (also alle Koeffizienten gleich Null) so ist die Menge linear unabhängig oder?
Hier mal ein Beispiel:
M := [mm] \{\vektor{1 \\ 3 \\ 4}, \vektor{2 \\ 6 \\ 4}, \vektor{4 \\ 4 \\ 2}\} [/mm] über [mm] \IR^{3}
[/mm]
also: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0\\ 3 & 6 & 4 & 0\\ 4 & 4 & 2 & 0} \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -8 & 0\\ 0 & -4 & -14 & 0} \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0\\ 0 & 1 & 2& 0\\ 0 & 0 & 1 & 0} \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Soll ich den letzten Schritt dann einfach nicht mehr ausführen und nur Variable angeben oder was soll ich dann machen?
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> Hallo!
> Um festzustellen ob eine Menge M linear abhängig oder
> linear unabhängig ist, reicht es ja ein homogenes
> Gleichungssystem aufzustellen und dieses zu lösen. Nun hat
> ein homogenes Gleichungssystem immer die Lösung für die
> Koeffizienten [mm]a_{1}=...=a_{n}=0.[/mm]
Hallo,
ja, so ist das.
> Leider bekomme ich auch
> das meistens immer als Lösung heraus.
Wenn dies die einzige Lösung ist, ist die Menge von Vektoren, die Du überprüft hast, linear unabhängig.
> Ich suche ja aber
> gerade nach einer Lösung, die davon verschieden ist. Denn
> wenn nur die triviale Lösung herauskommt (also alle
> Koeffizienten gleich Null) so ist die Menge linear
> unabhängig oder?
Ja.
> Hier mal ein Beispiel:
> M := [mm]\{\vektor{1 \\ 3 \\ 4}, \vektor{2 \\ 6 \\ 4}, \vektor{4 \\ 4 \\ 2}\}[/mm]
> über [mm]\IR^{3}[/mm]
> also: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 & 0\\ 3 & 6 & 4 & 0\\ 4 & 4 & 2 & 0} \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -8 & 0\\ 0 & -4 & -14 & 0} \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0\\ 0 & 1 & 2& 0\\ 0 & 0 & 1 & 0} \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Soll ich den letzten Schritt dann einfach nicht mehr
> ausführen und nur Variable angeben oder was soll ich dann
> machen?
Erstmal würde ich mir, da Du es hier mit homogenen Gleichungssystemem zu tun hast, die Spalte mit den Nullen sparen.
Dann bestimmst Du den Rang der Koeffizientenmatrix.
Im vorliegenden Beispiel hast Du eine 3x3-Matrix mit dem Rang 3, daraus weißt Du, daß es nur die triviale Lösung gibt.
Jetzt schauen wir nochmal ein beispiel an, welches mehr als eine Lösung hat:
M := [mm]\{\vektor{1 \\ 3 \\ 4}, \vektor{2 \\ 6 \\ 4}, \vektor{4 \\ 12 \\ 12}\}[/mm] :
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 12 \\ 4 & 4 & 12 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 4 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 4\\ 0 & 0 & 0 } [/mm] .--> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 } [/mm] ,
der Lösungsraum wird hier aufgespannt von [mm] <\vektor{2\\1\\-1}>.
[/mm]
Also gibt es eine von 0 verschiedene Lösung, die eingesetzen Vektoren sind nicht linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Eine Koeffizientenmatrix, die ein homogenes Gleichungssystem abbildet hat also immer NUR die triviale Lösung wenn gilt: 3x3 => Rang 3
2x2 => Rang 2
4x4 => Rang 4 usw.?
Wenn der Rang der Matrix dann vom obigem Schema abweicht (also z.B. eine 3x3 Matrix hat Rang 2) dann habe ich logischerweise mindestens eine von der trivialen Lösung verschiedene Lösung.
Für mich folgt daraus, dass Matrizen der Form 2x3 oder 3x2, also MxN-koeffizientenmatrizen die ein homogenes Gleichungssystem abbilden immer die triviale Lösung und eine davon verschiedene Lösung haben. Stimmt das?
Gibt es noch eine andere Möglichkeit den Rang einer Matrix zu bestimmen, ohne diese zuvor in die Spalten- oder Stufenform zu bringen?
Danke! ;)
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> Eine Koeffizientenmatrix, die ein homogenes
> Gleichungssystem abbildet hat also immer NUR die triviale
> Lösung wenn gilt: 3x3 => Rang 3
> 2x2 => Rang 2
> 4x4 => Rang 4 usw.?
Hallo,
ja.
>
> Wenn der Rang der Matrix dann vom obigem Schema abweicht
> (also z.B. eine 3x3 Matrix hat Rang 2) dann habe ich
> logischerweise mindestens eine von der trivialen Lösung
> verschiedene Lösung.
Wenn der Rang kleiner ist als die Anzahl der Spalten, dann gibt es mehr als eine Lösung.
> Für mich folgt daraus, dass Matrizen der Form 2x3 oder
> 3x2, also MxN-koeffizientenmatrizen die ein homogenes
> Gleichungssystem abbilden immer die triviale Lösung und
> eine davon verschiedene Lösung haben. Stimmt das?
Jein.
Für 2x3-Matrizen stimmt das, für 3x2-Matrizen nicht.
>
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit den Rang einer Matrix
> zu bestimmen, ohne diese zuvor in die Spalten- oder
> Stufenform zu bringen?
Das mit der ZSF ist sicher das bequemste, denn es ist, wie Du selbst schreibst, ja ein homogenens lineares Gleichungssystem zu lösen.
Wenn Du nun mehr Spalten hast, als die Dimension des Raumes ist, in den Du abbildest, brauchst Du gar nicht zu rechnen, die müssen dann ja abhängig sein.
Gruß v. Angla
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