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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Di 06.12.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Es sei K ein Körper und f,g ungleich 0 Polynome aus K[x] von unterschiedlichem Grad. Zeige, dass f und g linear unabhängig sind. |
Nun, die beiden Polynome haben ja die Form:
f = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}
[/mm]
g= [mm] \summe_{k=0}^{m} b_{k}x^{k},
[/mm]
dabei gilt laut Voraussetzung:
entweder n>m oder m>n.
Linear unabhängig heißt, dass der Nullvektor nur trivial darstellbar ist.
D.h. doch es muss gelten: [mm] \lambda [/mm] f + [mm] \nu [/mm] g = 0
Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Di 06.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Gibt's Ideen?
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> Es sei K ein Körper und f,g ungleich 0 Polynome aus K[x]
> von unterschiedlichem Grad. Zeige, dass f und g linear
> unabhängig sind.
> Nun, die beiden Polynome haben ja die Form:
> f = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}[/mm]
> g= [mm]\summe_{k=0}^{m} b_{k}x^{k},[/mm]
>
> dabei gilt laut Voraussetzung:
> entweder n>m oder m>n.
> Linear unabhängig heißt, dass der Nullvektor nur trivial
> darstellbar ist.
> D.h. doch es muss gelten: [mm]\lambda[/mm] f + [mm]\nu[/mm] g = 0
> Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter...
Soweit alles richtig, ja.
Nur dir scheint noch nicht ganz klar zu sein, was du zeigen musst.
Du musst zeigen, dass [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \nu [/mm] = 0$ die einzige Lösung von [mm] $\lambda [/mm] f + [mm] \nu [/mm] g = 0$ ist.
Überleg dir dazu folgendes:
Angenommen eine der beiden Zahlen wäre ungleich 0.
In wie weit ändert sich dann der Rang von $f$ oder $g$, wenn es mit dieser Zahl ungleich 0 multipliziert wird?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 06.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Mmh, stehe grade auf dem Schlauch, ich weiß, was der Rang einer Matrix ist und der Grad eines Polynoms, aber der Rang eines Polynoms..?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mi 07.12.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
2 Vektoren sind doch nur abhängig, wenn [mm] v1=\alpha*v2 [/mm] ist
folgt direkt aus [mm] \alpha*v1+\beta*v2=0 [/mm] einer nicht Null, dividier durch, ergibt [mm] v1=\alpha'v2
[/mm]
und dass du ein polynom durch mult mit [mm] \alpha\in [/mm] K zu keinem höheren grades machen kannst ist klar.
die aufgabe ist praktisch trivial
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rollroll |
@leduart: Kannst du deine Antwort vielleicht noch mal ein bisschen erklären? Verstehe es nicht ganz...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rollroll |
was meinst du denn mit dividier durch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mi 07.12.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
da ist ein k auf der Tastatur statt im post geblieben. natürlich kann man durch Multiplikation mit [mm] \alpha [/mm] KEIN Polynom höheren oder niedrigeren grades erzeugen. d.h. wenn der Grad von v1>Grad v2 ist kann nicht gelten [mm] \alpha*v1=v2 [/mm] so trivial ist das. der Rest sagte nur dass man aus [mm] \alpha,\beta [/mm] nicht beide =0 auf [mm] \alpha*v1=v2 [/mm] schliessen kann. es reicht aber auch [mm] \alpha v1=-\beta [/mm] v2 ist unmöglich bei versch Grad. ausser beide 0
gruss leduart
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