Linear höherer Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit der Diffentialgleichung
y''-2y'+10y=0 |
Hallo zusammen.
Ich hab eine generelle Frage zu linearen Differentialgleichungen höherer Ordnung mit komplexen Nullstellen. Wenn man hier die Nullstellen bestimmt kommt man ja auf
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1+3i und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1-3i
Dann bekommt man
[mm] y_{1}=e^{(1+3i)t} [/mm] = [mm] e^{t}(cos [/mm] (3t) + i sin (3t))
und [mm] y_{2}=e^{(1-3i)t} [/mm] = [mm] e^{t} [/mm] (cos (3t) - i sin (3t))
Woher weiß ich jetzt was die Lösung für die Differentialgleichung ist? Wir haben dann aufgeschrieben die ist
y = a [mm] e^{t} [/mm] cos (3t) + b [mm] e^{t} [/mm] sin (3t)
Aber woher weiß ich welche Teile ich dann von den beiden Lösungen oben nehmen muss?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit der
> Diffentialgleichung
> y''-2y'+10y=0
> Hallo zusammen.
> Ich hab eine generelle Frage zu linearen
> Differentialgleichungen höherer Ordnung mit komplexen
> Nullstellen. Wenn man hier die Nullstellen bestimmt kommt
> man ja auf
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1+3i und [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1-3i
> Dann bekommt man
> [mm]y_{1}=e^{(1+3i)t}[/mm] = [mm]e^{t}(cos[/mm] (3t) + i sin (3t))
> und [mm]y_{2}=e^{(1-3i)t}[/mm] = [mm]e^{t}[/mm] (cos (3t) - i sin (3t))
>
> Woher weiß ich jetzt was die Lösung für die
> Differentialgleichung ist? Wir haben dann aufgeschrieben
> die ist
> y = a [mm]e^{t}[/mm] cos (3t) + b [mm]e^{t}[/mm] sin (3t)
>
> Aber woher weiß ich welche Teile ich dann von den beiden
> Lösungen oben nehmen muss?
Ich kenne mich mit der Materie (Differenzialgleichungen) kaum aus.
Ich möchte nur daraus hinweisen, dass
cos(3t)=cos(-3t) gilt, im Gegensatz dazu ist sin(3t)=-sin(-3t).
Hilft dir das irgendwie weiter?
>
> LG
|
|
|
|
