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Hi,
ich habe eine Aufgabe gerechnet, bei der ich prüfen sollte, ob die Vektoren linear Abhängig oder Unabhängig sind.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt habe ich das ganze gerechnet und habe herausgefunden, dass Sie linear unabhängig sind.
$Matrix\ aufstellen\ [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 5 & -1} \Rightarrow [/mm] Matrix\ erweitert\ um\ den\ [mm] \vec{0} \pmat{ 1 & -1 & 0 & 1\ \ \ \ |\ 0 \\ 2 & -2 & 3 & -1\ |\ 0 \\ 3 & -1 & 0 & 1\ \ \ \ |\ 0 \\ 4 & -2 & 5 & -1\ |\ 0 } \Rightarrow [/mm] Gauss [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & -1 & 0 & 1\ \ \ \ |\ 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\ |\ 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\ \ \ \ |\ 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\ \ \ \ |\ 0 }$
[/mm]
[mm] $x_4=0$, $x_3=0$, $x_2=0$, $x_1=0$
[/mm]
Ich habe mich gefragt:
Wie könnte die Aufgabenstellung lauten, wenn es sich um Vektoren handelt, bei denen min. 2 linear Abhängig voneinander sind. Also wie könnte dann so eine Beispielaufgabe aussehen, die ich mal rechnen könnte?
Könnte mir jemand von euch eine Beispielaufgabe geben?
Danke für die Hilfe
Gruß Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Könnte mir jemand von euch eine Beispielaufgabe geben?
Hallo,
solch ein Beispiel kannst Du Dir doch leicht selber machen!
Aus den Vektoren der Aufgabe kannst Du Dir bestimmt etwas Abhängiges basteln.
Nimm z.B.
[mm] (v_1, 3v_1-v_3, v_3, -2v_3+v_2)
[/mm]
Mach' Dir Deine Matrix und rechne los.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Fr 26.01.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
danke für die Antwort, ich werde das gleich mal rechnen und dann mein Ergebnis posten ob das dann so stimmt, falls ich mir unsicher wäre.
Danke
Gruß Thomas
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Hi,
also ich habe das jetzt mal gerechnet. Ich habe keinen "vollen" Rang herausbekommen (nennt man das so? Meine Matrix hat 4 Spalten, mein Rang ist 3).
Ich habe jetzt die Matrix nach folgendem Schema aufgestellt: $ [mm] (v_1, 3v_1-v_3, v_3, -2v_3+v_2) [/mm] $ (Somit sind die Vektoren linear abhängig!)
[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 3 & -8 \\ 3 & 9 & 0 & -1 \\ 4 & 7 & 5 & -12} [/mm] Zeile 4 - 2*Zeile 2
[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 3 & -8 \\ 3 & 9 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 4} [/mm] Zeile 2 - 2*Zeile 1 UND Zeile 3 - 3*Zeile 1
[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 4} [/mm] Zeile 2 + 3*Zeile 4
[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 4} [/mm] Zeile 2 - 3*Zeile 3
[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 4} [/mm] Zeile 2 und Zeile 4 Tauschen
[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] Zeile 3 durch 2 teilen
[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Ist der Rang der Matrix 3!?! Ich bin mir jetzt nicht sicher da es keine richtige Zeilenstufenform ist. Bedeutet es, weil der Rang der Matrix 3 ist aber die Matrix 4 Spalten hat, dass die Vektoren linear Abhängig sind?
Die alte Aufgabenstellung um sehen zu können wie ich Matrix zusammengestellt wurde:
[Dateianhang nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Mi 07.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
genau so wie du gesagt hast ist es auch! Der Rang der Matrix ist hier 3.
Wenn du alle deine Vektoren in eine Matrix schreibst und mit dem Gauss Algorithmus auf Zeilenstufenform bringst, dann kannst du genau sehen welche linear unabhängig sind und welche nicht. Wenn deine Matrix vier Zeilen hat du aber nur drei oder weniger Stufen in deiner Matrix hast, dann sind nicht alle linear unabhängig. Immer dann wenn deine Matrix vollen Zeilenrang oder vollen Spaltenrang hat, sind alle Vektoren linear unabhängig, sonst nicht. Deswegen verwendet man auch dieses Verfahren, weil es einfach ist und schnell zu sehen ist.
Gruß,
clwoe
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